INVARIANT, mathématique

Invariants en topologie et en géométrie

En topologie algébrique, on associe à un espace topologique ou à une application continue entre deux espaces topologiques des invariants par déformation continue. Ces invariants sont de nature algébrique et on exploite pour les étudier toutes les ressources de l'algèbre abstraite, d'où le nom de topologie algébrique. La notion précise de déformation s'appelle homotopie. Pour cette notion, un cercle, un cylindre et un ruban de Möbius sont dans la même classe qui contient aussi l'espace topologique formé par le plan privé d'un point, tandis qu'une autre classe contient à la fois la figure formée par le chiffre 8 et l'espace formé par le plan privé de deux points.

L'exemple le plus simple d'invariant en topologie algébrique est le nombre de rotation d'une application continue du cercle dans lui-même, notion mathématique qui précise l'idée intuitive du nombre de tours, compté algébriquement, parcourus par f(t) lorsque t fait un tour. Deux telles applications sont homotopes si et seulement si elles ont le même nombre de rotation.

La notion d'invariant joue un rôle majeur dans la théorie des nœuds où – dans le cas de l'espace usuel – on entend par nœud une ficelle emmêlée dont on a recollé les extrémités. Il s'agit de décider si deux nœuds peuvent être transformés l'un en l'autre en démêlant ou en emmêlant la ficelle sans la couper.

La dimension d'une variété différentielle est un invariant local par homéomorphisme. De plus, deux variétés de même dimension sont localement isomorphes ; pour les distinguer, il faut faire appel à des invariants globaux qui dépendent, au contraire, de la variété tout entière tels que le genre d'une surface : la sphère est de genre 0 et le tore de genre 1.

Parmi les invariants globaux d'isométrie des variétés riemanniennes, on trouve des spectres de fréquence analogues à ceux qui sont émis par une membrane vibrante, ce qui fait utiliser la formule évocatrice « Peut-on entendre la forme d'un tambour ? » On ne peut pas tout à fait, mais cela n'a été démontré qu'en 1992 pour la dimension 2, celle des tambours usuels.

De nouveaux invariants pour divers types de géométrie sur les variétés, ainsi que pour la classification des nœuds, ont été découverts à la fin du xx^e siècle, au sein de théories très prometteuses où les mathématiques se mêlent à la physique des hautes énergies pour tenter une description unifiée des interactions fondamentales de l'Univers.