Arithmético

"arithmético" dans l'encyclopédie

• SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

  • Écrit par Christophe BREUIL
  • 23 711 mots

  Les premières sont de nature arithmético-géométrique et les secondes de nature arithmético-analytique. Dans cet article, nous introduisons les courbes elliptiques, puis les formes modulaires. Nous formulons ensuite précisément la « conjecture ». Enfin, nous présentons un bref historique et donnons une petite idée de la preuve. Courbes elliptiques Définition La géométrie arithmétique moderne puise en partie sa source dans l'étude des équations polynômiales : (1) P(X, Y) = 0, où est un polynôme à deux variables X et Y et à coefficients Ai,j dans le corps des rationnels ℚ.

• GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
  • 26 865 mots

  Dès l'âge de quatorze ans, Gauss avait réinventé la moyenne arithmético-géométrique M(a, b) de deux nombres positifs, limite commune des deux suites définies par :et, quelques années plus tard, il avait aussi retrouvé l'expression de M(a, b) par une intégrale elliptique :(déjà connue de Lagrange). Mais, dès avant 1800, Gauss dépasse de loin tous ses devanciers en introduisant la série :(retrouvée par Jacobi en 1827) et en exprimant M(a, b) par un quotient de deux séries reliées à la série θ, dont il obtient aussi des expressions en produits infinis ; puis, d'abord pour l'intégrale elliptique particulière :et, peu après, pour l'intégrale elliptique générale, il a l'idée de considérer x comme fonction de ϕ, découvre la double périodicité de ces fonctions, leur expression à l'aide de fonctions thêta et les principales propriétés de la fonction modulaire, notamment son invariance par le groupe des transformations : (a, b, c, d entiers, ad − bc = 1).

• PROPORTION

  • Écrit par Philippe BOUDON, Jacques GUILLERME
  • 45 290 mots

  L'astronomie fut « harmonisée » sous le régime de la « musique des sphères », et le postulat de la perfection arithmético-musicale de la machine céleste inspirera Kepler. À la suite de Boèce, les « musiciens » médiévaux étendirent leur compétence jusqu'à la vie morale (la vertu étant considérée comme moyenne « harmonique » entre les extrêmes des vices opposés) et rejoignirent, en quelque sorte, dans la théorie du mélange harmonieux des tempéraments l'héritage hippocratique et galénique de la juste proportion, caractéristique de la santé physique.