Né vers l'an 70, sans doute à Alexandrie (Égypte), Menelaüs vécut une partie de sa vie à Rome, comme l'atteste le témoignage de Ptolémée qui cite l'observation par Menelaüs de l'occultation par la Lune de l'étoile Bêta du Scorpion, le 14 janvier 98, à Rome. Le seul livre de Menelaüs qui nous soit accessible est Sphericae, qui traite des triangles sphériques et de leurs applications en astronomie. Après les avoir définis comme espaces sur la surface d'une sphère inclus entre des arcs de grands cercles, Menelaüs étudie leurs propriétés et montre leur intérêt en astronomie. Il démontre de nombreuses propriétés analogues à celles qui sont énoncées par Euclide dans le cas planaire, par exemple que la somme des angles est supérieure à deux angles droits. Il s'écarte cependant volontairement de la façon de raisonner d'Euclide, en particulier en évitant les démonstrations par l'absurde. Menelaüs invente une trigonométrie sphérique et prouve, pour les triangles sphériques, un théorème qui porte son nom et qui est analogue à un résultat qui, bien que connu auparavant, est aussi nommé « théorème de Menelaüs » : si une ligne droite coupe les trois côtés d'un triangle plan, le produit de trois segments non adjacents ainsi formés est égal au produit des trois segments restants. Menelaüs développe aussi la notion de rapport anharmonique, mais il n'est pas certain que les théorèmes qu'il démontre sur ce sujet soient originaux. Les mathématiciens arabes citent d'autres ouvrages de Menelaüs aujourd'hui disparus, sur la géométrie, sur la mécanique et sur la connaissance des poids et distributions des différents corps dans les alliages. Il aurait aussi composé un catalogue des étoiles fixes et un traité sur l'apparition des signes du zodiaque. Il est à peu près certain qu'il a calculé des tables trigonométriques, en particulier des sinus, alors désignés sous le nom de cordes. Menelaüs meurt vers l'an 120. Son influence sur le développement des mathématiques arabes est indéniable.
Bernard PIRE
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