TORE PLAT

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Un tore plat est un parallélogramme dont les côtés opposés sont identifiés. Cet objet mathématique abstrait semblait impossible à visualiser dans notre espace. Une équipe de mathématiciens et d'informaticiens de Lyon et de Grenoble a réussi en 2012 à construire et à représenter une image d'un tore plat dans l'espace à trois dimensions. Pour être plus précis, soulignons que cette visualisation concerne les « plongements isométriques » des tores plats, qui sont de dimension 2, dans l'espace habituel à trois dimensions. La déformation la plus simple d'un tore plat est un objet en forme de bouée. Mais on peut démontrer qu'il n'y a aucun moyen d'accomplir cette déformation en respectant les distances entre deux points : ces plongements ne sont pas « isométriques ». En 1955, le géomètre néerlandais Nicolaas Kuiper (1920-1994) montre qu'on peut néanmoins faire un plongement isométrique du tore plat, à condition d'appliquer un résultat surprenant obtenu l'année précédente par le mathématicien américain John Nash (né en 1928) pour la résolution d'un problème voisin : il faut que ces plongements soient suffisamment irréguliers, dans le sens où les courbes en jeu n'admettent pas de tangentes. L'outil mathématique utilisé par Vincent Borelli et ses collaborateurs du C.N.R.S. et des universités de Lyon et Grenoble est un algorithme qui traduit les résultats de la théorie de l'intégration convexe et permet de construire des déformations isométriques du tore plat. La surface qui en résulte a une structure de « fractale lisse », à mi-chemin entre les fractales et les courbes ordinaires. Leur résultat montre aussi que l'intégration complexe permet d'accéder numériquement à des solutions de certaines équations aux dérivées partielles.

Image d'un tore plat en 3D

Image d'un tore plat en 3D

photographie

Image montrant un plongement isométrique du tore carré plat dans l'espace ambiant : vues externe (à gauche) et interne (à droite). On y distingue différentes vagues d'ondulations, appelées corrugations. Leur accumulation crée un objet ressemblant à une fractale et ayant un aspect rugueux. 

Crédits : Borelli, Jabrane, Lazarus, Thibert

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—  Bernard PIRE

Écrit par :

  • : directeur de recherche au CNRS, centre de physique théorique de l'École polytechnique, Palaiseau

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Pour citer l’article

Bernard PIRE, « TORE PLAT », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 mars 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/tore-plat/