NŒUDS (THÉORIE DES)

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La mécanique statistique et les nœuds

La généralisation de L. H. Kauffman utilise le diagramme d'un nœud mais rejoint certaines idées de la mécanique statistique, dont il faut dire ici quelques mots. Cette théorie a été fondée pour rendre compte de très grands systèmes et son but est de déduire le comportement global d'un système à partir de la connaissance locale de l'état de ses constituants. L'élément central est la fonction de partition du système Z=Σ e−βH(s), où β=1/kT, où H(s) représente l'énergie d'un état donné et où la sommation porte sur tous les états du système (si chaque constituant possède 2 états, il y a 2n états possibles du système). La probabilité pour que le système soit dans un état s est alors :

On peut donc, en principe, déduire de Z toutes les informations utiles sur le comportement du système.

Dans le cadre, un modèle de ferromagnétisme a été proposé par Ernst Ising en 1925. Lorsqu'on applique un champ magnétique, les spins s'orientent ; si le champ décroît lentement jusqu'à 0 et si la température est suffisamment faible, il reste une aimantation résiduelle. Si l'on chauffe, l'agitation thermique fait disparaître cette aimantation pour une certaine température critique Tc.

Dans le modèle d'Ising, on considère une population de n spins répartie sur les sommets d'un quadrillage à deux dimensions, chaque spin pouvant être dans l'état −1 ou +1, et on ne suppose que des interactions à courte distance, entre proches voisins, ce qui est très simplificateur. Le problème était de savoir s'il apparaissait quand même une transition de phase, c'est-à-dire une discontinuité dans le comportement du réseau, ce qui a été démontré par Lars Onsager en 1941. Potts a également étudié, sur le même principe, des modèles où chaque site peut prendre q états.

Considérons maintenant un nœud. Kauffman-commence par définir le « polynôme du crochet » du diagramme du nœud. Chaque croisement définit localement quatre régions que Kauffman note A ou B de la façon suivante : le pivotement du brin supérieur dans le sens direct ferait disparaître deux régions : elles sont notées A ; les autres sont notées B. Un croisement peut être supprimé en reliant soit les régions A, soit les régions B, ce qui revient à lui affecter deux états. Le polynôme du crochet, à trois variables A, B et d est alors défini à partir des relations :

Régions associées à un croisement et états correspondants

Dessin : Régions associées à un croisement et états correspondants

Les régions associées à un croisement, et les deux états correspondants. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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On procède ensuite de proche en proche, comme dans le polynôme HOMFLY. Ce qui est remarquable, c'est qu'on peut également obtenir ce polynôme en regardant directement les différents états possibles du diagramme de K, qui correspondent à différents choix de liaisons A ou B en chaque croisement. Pour chaque état S, soit a(S) le nombre de liaisons de type A, b(S) celui des liaisons de type b, et c(S) le nombre des composantes.

Exemples d'états du nœud de trèfle

Dessin : Exemples d'états du nœud de trèfle

Deux exemples d'états du nœud de trèfle. Il en existe 6 autres. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Le polynôme du crochet s'écrit alors :

la sommation portant sur tous les états du nœud, tout comme en mécanique statistique. Ce n'est pas une coïncidence : Kauffman a montré que, à un changement de variables près, ce polynôme donne exactement la fonction de partition d'un modèle de Potts pour le réseau formé des arêtes et des sommets du diagramme du nœud, chaque sommet pouvant prendre q valeurs.

Ce polynôme du crochet permet également de retrouver un autre polynôme, connu depuis plusieurs décennies et lié, cette fois, au nombre de façons de colorier les sommets du diagramme du nœud à l'aide de q couleurs, avec la condition que deux sommets reliés par un arc soient de couleurs différentes. Il permet aussi de définir un nouvel invariant pour les nœuds et chaînes en posant : (K)=(−A3)t(K)[K], avec le changement de variables : B=A−1 et d=−A2 − A−2. Le terme correctif (−A3)t(K) est nécessaire pour que (K) soit invariant par le mouvement I de Reidemeister (ce qui n'est pas le cas de [K]). La quantité t (K) est le nombre de tortillements du nœud : on affecte à chaque croisement la valeur ±1 conformément aux schémas de la règle de Conway ; t(K) est la somme de toutes ces valeurs. Enfin, les choix B=A−1 et d=−A2−A−2 assurent l'invariance pour les mouvements de types II et III.

À l'aide de ce polynôme, Kauffman et Murasugi ont pu démontrer certaines conjectures datant du xixe siècle. En particulier, si un nœud possède un diagramme alterné, alors il n'existe aucun diagramme possédant moins de croisements.

On voit donc que la découverte de Jones, puis les travaux et les généralisations qui ont suivi ont non seulement permis de résoudre des problèmes anciens, mais également de mettre en évidence des relations [...]

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Déformation des nœuds

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Nœud trivial

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Premiers nœuds de la classification de Tait

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Écrit par :

  • : chef du département mathématique et informatique du Palais de la Découverte

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Jean BRETTE, « NŒUDS (THÉORIE DES) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 janvier 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/noeuds-theorie-des/