Les travaux du mathématicien français René-Louis Baire portent principalement sur la théorie des fonctions de variables réelles. Ancien élève de l'École normale supérieure, Baire enseigna d'abord à l'université de Montpellier. En 1905, il vint faire au Collège de France ses célèbres Leçons sur les fonctions discontinues, rédigées par A. Denjoy. Cette même année, il succède à C. Meray dans la chaire d'analyse de l'université de Dijon et publie ses Leçons sur les théories générales de l'analyse. Mais, malade depuis l'adolescence, il dut renoncer peu à peu à toute recherche et à tout enseignement.
Le premier résultat important de Baire est relatif aux fonctions qui sont limites simples de fonctions continues : ce sont les fonctions ponctuellement discontinues sur tout ensemble parfait. Ces fonctions constituent la classe 1 de Baire (les fonctions continues constituant la classe 0). Par récurrence, il définit les fonctions de la classe n comme limites simples de fonctions de la classe (n — 1) et obtient des résultats fondamentaux sur les fonctions des classes 1, 2 et 3. Les démonstrations de Baire utilisent l'induction transfinie, qu'il est un des premiers à introduire comme méthode de démonstration en analyse. L'œuvre de Baire eut une importance considérable et trouve sa forme achevée dans l'ouvrage Intégrales de Lebesgue. Fonctions d'ensemble. Classes de Baire (1916), de C. de La Vallée-Poussin qui étudie les fonctions de classe α, pour un ordinal α.
On doit également à Baire des recherches sur l'intégration des équations aux dérivées partielles, quand on n'assujettit la solution à aucune autre condition que de satisfaire à l'équation donnée. Les méthodes ensemblistes qu'il utilise ont donné naissance à d'importants concepts de la topologie, qui ont surtout été développés par l'école polonaise.
Jean-Luc VERLEY
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