ENTROPIE
L'entropie statistique
Intervient dans la formule de Boltzmann le nombre total W d'états microscopiques accessibles lorsque est fixé l'état macroscopique du système. Voilà qui est surprenant : on s'attendait plutôt à ce que l'un de ces états soit réalisé – même s'il est sans doute impossible de savoir lequel –, ce qui exclurait les autres. Ce dilemme est résolu si l'on admet que la description microscopique d'un système macroscopique est de nature probabiliste : les W états microscopiques compatibles avec des conditions macroscopiques données ont chacun – pour un système isolé − la probabilité 1/W d'être effectivement choisis dans la réalité.
La notion d'entropie s'étend à une situation probabiliste quelconque : N événements possibles e1, e2,... en,..., eN ont les probabilités respectives P1, P2,..., Pn,..., PN, avec 0 ≤ Pn ≤ 1 pour tout n, et Σn=1N Pn = 1.
Si l'une de ces probabilités est égale à 1, l'événement correspondant est certain, tous les autres étant impossibles puisque leurs probabilités sont nécessairement nulles. On considère que, dans ce cas particulier, on possède sur le système toute l'information nécessaire, puisqu'on sait à coup sûr quel événement va se produire. À une distribution de probabilités {Pn} différente de la précédente est en revanche associé un certain manque d'information : n'importe lequel des N événements peut se réaliser, certains ayant toutefois, en général, plus de chances de le faire que d'autres. La théorie de l'information, développée depuis les travaux de Claude Shannon et Warren Weaver (1948), propose de mesurer quantitativement le manque d'information par l'entropie statistique S, définie comme S = — k Σ n=1N Pn ln Pn (définition). la constante positive k est a priori arbitraire (en mécanique statistique, ce sera la constante de Boltzmann) ; les diverses probabilités étant toutes positives mais inférieures à 1, leur logarithme est négatif, de sorte que S est toujours positive. Dans la situation particulière où les probabilités Pn sont toutes égales (chacune d'elles vaut alors 1/N), on retrouve une expression analogue à la formule de Boltzmann : S = k ln N si Pn = 1/N pour tout n. On montre facilement que cette situation est celle où l'entropie statistique S est maximale ; c'est effectivement lorsque aucun événement n'est privilégié par rapport aux autres que le manque d'information est intuitivement maximum.
Ainsi, l'entropie thermodynamique d'un système s'interprète, dans le cadre de la mécanique statistique, comme la mesure du manque d'information qui subsiste au niveau microscopique lorsque l'état macroscopique de ce système est donné. Par ailleurs, l'entropie statistique peut être utilisée dans d'autres contextes où interviennent des probabilités.
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Écrit par
- Bernard DIU : professeur émérite à l'université de Paris-VII-Denis-Diderot
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