Des objets universels apparaissent dans de multiples contextes mathématiques, mais l'idée de base est commune : un objet universel est un objet à partir duquel tous les autres membres de la famille considérée peuvent se reconstruire. Par conséquent, un objet universel est, quand il existe, le plus grand, le plus général de la famille. L'existence d'un tel objet permet d'économiser des démonstrations : typiquement, pour établir que tous les objets de la famille ont une certaine propriété, il suffit de l'établir pour l'objet universel et de montrer ensuite qu'elle se propage à tous les autres.
Plutôt que de chercher un cadre formel unique, nous allons décrire deux exemples appartenant à des mondes très différents. Considérons les groupes en algèbre. Un groupe G est un couple formé d'un ensemble G et d'une opération binaire dans G telle que, en la notant comme une multiplication, x(yz) = (xy)z pour tous x, y et z, il existe un élément 1 vérifiant x1 = 1x = x pour tout x, et telle que, pour tout x, il existe y vérifiant xy = yx = 1. Si G est un groupe, on dit qu'une partie A de G engendre G si tout élément de G peut s'écrire comme produit d'éléments de A et de leurs inverses. Fixons alors un ensemble A et considérons la famille de tous les groupes qui sont engendrés par A.
Supposons d'abord A réduit à un ensemble à un élément {a}. Il existe une infinité de groupes engendrés par {a}. D'une part, un groupe infini G, copie du groupe additif des entiers relatifs, consistant en tous les éléments de la forme ap avec p entier relatif, munis de l'opération ap.aq = ap + q. D'autre part, pour chaque entier n ≥ 2, un groupe fini Gn, copie du groupe ℤ /nℤ (groupe dont l'ensemble de base a n éléments, qui sont les ensembles regroupant les nombres entiers relatifs ayant même reste dans la division par n), consistant en les éléments de la forme ap avec 0 ≤ p < n munis de l'opération ap.aq = ar où r est l'unique entier compris entre 0 et n – 1 congru à p + q modulo n. […]
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