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FONCTIONS ANALYTIQUES Représentation conforme

Écrit par Christian HOUZEL
5 285 mots
10 médias

La projection stéréographique de pôle (0, 0, 1) sur le plan t = 0 est l'application qui, à chaque point (x, y, t ) de la sphère distinct de (0, 0, 1), associe le point où la droite joignant (0, 0, 1) à (x, y, t ) rencontre le plan t = 0. Ainsi, l'image de (x, y, t ) est le point :soit :avec la notation complexe. Il est facile de montrer que cette application conserve les angles (c'est-à-dire que l'application linéaire tangente possède cette propriété). Lire la suite

STABILITÉ

Écrit par Michel CAZIN
3 566 mots
2 médias

Étudions la stabilité de la solution : p = 0, q = 0 et r = r0 > 0. Introduisons les nouvelles variables ξ, η et ζ : On obtient le système : Si A ≥ B > C, nous prendrons :définie positive ; on vérifie que V′ = 0 et, par le premier théorème de Liapounoff, on peut en déduire la stabilité de la solution ξ = η = ζ = 0. Si A ≤ B < C, nous prendrons :définie négative, telle encore que V′ = 0 ; il y a donc stabilité en vertu du premier théorème de Liapounoff. Lire la suite

RÉMANENCE, physique

Écrit par Viorel SERGIESCO
469 mots

Ainsi, pour B = 0, si :A(0)aller = 0 est la valeur stable,A(0)retour = Ar ≠ 0 est la valeur métastable. La rémanence est un cas particulier de métastabilité. Lire la suite

DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Écrit par Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU, Universalis
11 635 mots

Exemple : soit y(t ) une fonction continue pourvu de dérivées première et seconde continues pour t ∈ [0, 1] et telle que y(0) = y(1) = 0. Alors y(t ) satisfait à y″(t ) = r(t ), r(t ) continue. Par suite, y(t ) peut être développée en série de Fourier :avec :la convergence étant uniforme sur l'intervalle [0, 1]. On aura reconnu que 2 sin (nπt ), n = 1, 2, est le système orthogonal des fonctions propres du système y″ = λ y, y(0) = y(1) = 0. Lire la suite

CONDUCTIVITÉ ou CONDUCTIBILITÉ, physique

Écrit par Viorel SERGIESCO
668 mots

La conductivité électrique σ et la conductivité thermique κ sont des constantes spécifiques de tout corps homogène, définies par les relations i = σE (avec grad T = 0) et q = —κ grad T (avec i = 0), où i est la densité du courant électrique, q la densité du courant thermique, E le champ électrique et T la température absolue. Les restrictions grad T = 0 pour σ et i = 0 pour κ découlent du fait que, si les porteurs d'électricité et de chaleur sont les mêmes et si l'on a simultanément E ≠ 0 et grad T ≠ 0, i et q sont liés par les relations de la thermodynamique des processus irréversibles. Lire la suite

EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Écrit par Jean-Luc VERLEY
5 964 mots
8 médias

Remarquons d'abord que la relation fonctionnelle entraîne :pour tout entier positif n ; d'autre part, u(1) = u(1 + 0) = u(1) + u(0), d'où u(0) = 0. Pour les entiers négatifs, on a : 0 = u(0) = u(n + (−n)) = u(n) + u(−n), d'où :ainsi, u(x) = ax pour tout entier relatif. Soit enfin x = p/q un nombre rationnel ; on a :d'où :et finalement : Pour a = 0, on obtient l'application nulle et, pour a ≠ 0, ces homomorphismes sont des isomorphismes, c'est-à-dire qu'ils sont bijectifs. Lire la suite

1962 7^e Coupe du monde de football

Écrit par Jean DURRY
903 mots

À Rancagua, enfin, dans le groupe 4, une nouvelle Hongrie emmenée par Florian Albert bat l'Angleterre (2-0), écrase la Bulgarie (6-1), concède le nul à l'Argentine (0-0) ; quant à l'Angleterre, sa victoire 3 buts à 1 contre l'Argentine lui permet de participer au tour suivant, même si elle ne marque pas contre la Bulgarie (0-0). Les quarts de finale sont serrés. Lire la suite

1966 8^e Coupe du monde de football

Écrit par Jean DURRY
825 mots

bat sans génie la Corée du Nord (3-0), l'Italie (1-0) et le Chili (2-1) ; mais – résultat stupéfiant – les Italiens, qui se sont défaits des Chiliens (2-0, dont un but de Sandro Mazzola, fils d'une des victimes de la catastrophe aérienne de Superga en 1949), vont être éliminés par les rapides Coréens, grâce à un but de Pak-Do-Ik (1-0). Le moins que l'on puisse dire est que les arbitres allemand et anglais ne favorisent pas les Sud-Américains lors des quarts de finale Angleterre-Argentine (1-0) et Allemagne-Uruguay (4-0) ; l'U. Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

Écrit par Christian HOUZEL
4 678 mots

Les puissances successives de l'idéal maximal forment une suite décroissante (pmZp) d'idéaux dont l'intersection est visiblement {0} ; le plus grand de ces idéaux est p0Zp = Zp. La multiplication par pn est injective dans Zp ; il suffit de le vérifier pour n = 1, et px = 0 équivaut à pxm = 0 dans Z/pmZ pour tout m, ce qui donne :d'où xm-1 = 0. L'anneau Zp s'applique donc bijectivement sur l'idéal pnZp, et l'ensemble U = Zp − pZp de ses éléments inversibles s'applique bijectivement sur :on voit ainsi que l'ensemble Zp − {0} est réunion disjointe des pnU (n ∈ N). Lire la suite

GROUPES (mathématiques) Groupes classiques et géométrie

Écrit par Jean DIEUDONNÉ
8 269 mots
3 médias

La différence fondamentale entre le cas 1 < p < n et les cas p = n et p = 0 réside dans l'existence de vecteurs x ≠ 0 tels que Φ(x, x) = 0, dits vecteurs isotropes (leur ensemble est appelé cône isotrope de E). Plus généralement, il y a des sous-espaces V ≠ {0} tels que la restriction de Φ à V soit identiquement nulle ; on dit que ces espaces sont totalement isotropes et leur dimension maximale est :appelée indice de Witt de Φ. Lire la suite

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