« Métamathématique »
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TARSKI ALFRED (1902-1983)
- Écrit par Jan SEBESTIK
- 1 074 mots
Né à Varsovie, Alfred Tarski, qui fut, avant la Seconde Guerre mondiale, un des maîtres de l'école polonaise de logique, devait s'imposer comme un des plus grands logiciens contemporains, par ses travaux sur la métamathématique et sur la sémantique notamment, et par son enseignement à l'université de Californie, à Berkeley, qui devint, sous sa direction, un haut lieu de l'étude de la logique. Lire la suite
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MÉTALANGUE & MÉTALANGAGE
- Écrit par Robert SCTRICK
- 646 mots
Si Hilbert a nettement constitué la métamathématique, si les logiciens sont conscients des problèmes que pose pour la validité de leurs systèmes formels le recours obligatoire à la notion de métalogique, la question devient particulièrement épineuse lorsqu'il s'agit de parler, avec la langue usuelle, de la langue, celle qu'étudie la linguistique. Il ne faut pas confondre, en effet, l'usage métalinguistique de la langue, dans telle ou telle de ses parties, avec une métalangue proprement dite : qu'un énoncé tel que « Pierre, qui est un prénom masculin, est venu me voir ce matin » soit impossible, tout le monde voit bien pourquoi. Lire la suite
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HILBERT DAVID (1862-1943)
- Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
- 14 726 mots
- 1 média
Du point de vue métamathématique, les recherches de Hilbert sur la géométrie l'ont conduit à raffiner les méthodes de démonstration d'indépendance des systèmes d'axiomes. Comme on l'a déjà indiqué ci-dessus, le système hilbertien d'axiomes de la géométrie euclidienne est sans contradiction avec l'analyse, c'est-à-dire avec la théorie des nombres réels. Lire la suite
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CHIASME, symbolisme
- Écrit par Alain DELAUNAY
- 1 175 mots
Dynamique archétypique de l'opposition, autrement plus riche qu'une simple dialectique conceptuelle (celle-ci n'en est qu'un cas limite, selon la bivalence propre au langage), formant comme l'Archématrice de toute dialectique : catégoriale ou métalogique, eidétique ou métamathématique. Le chiasme serait ainsi la clef initiante au monde symbolique : il ouvrirait la forme (triadique) de la conscience du sujet connaissant immergée dans l'objet, sur sa complétude comme possible conscience de soi, pliant sur soi l'être, complétude d'auto-conscience (nécessairement tétrade, tétrarchique ou tétramorphe) comme participation à l'objet de sa connaissance. Lire la suite
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GÖDEL KURT (1906-1978)
- Écrit par Daniel ANDLER
- 2 292 mots
Il ajoute : « Ma conception objectiviste des mathématiques et de la métamathématique en général, et du raisonnement transfini en particulier, n'a pas joué dans mes autres travaux de logique un rôle moins fondamental. » L'objectivisme dont il parle est la doctrine, célèbre sous le nom de platonisme, qui consiste à affirmer que les objets mathématiques, quoique abstraits, existent réellement et indépendamment de l'effort de notre esprit pour les connaître. Lire la suite
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MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES
- Écrit par Jean Toussaint DESANTI
- 10 434 mots
- 1 média
Au sens premier et fort, le mot « fondement » désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d'énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. « Reposer sur la base » signifie ici « trouver en elle à la fois son origine et sa raison ». Point fixe à partir de quoi l'on explique et déploie, région originaire où prend racine le riche contenu de l'expérience instruite, tel apparaît le sens fort de l'expression « fondement ». Lire la suite
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FORMALISME
- Écrit par Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY
- 5 001 mots
- 1 média
La logique s'identifie dans ses problèmes, sinon dans ses objectifs, avec ce que Hilbert appelait la « métamathématique », c'est-à-dire la discipline (mathématique) qui, dans une « métalangue » rigoureuse, peut nous donner la connaissance scientifique de ces objets nouveaux que sont les « langues » et les systèmes axiomatiques formalisés. On se contentera ici de désigner les principaux de ces problèmes, en renvoyant le lecteur aux articles ou aux ouvrages spécialisés : problèmes de non-contradiction, de complétude (par rapport à un domaine d'interprétation donné), de « catégoricité » des systèmes formels (un système catégorique est un système dont tous les modèles sont isomorphes, c'est-à-dire mathématiquement indiscernables). Lire la suite
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MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
- 6 363 mots
- 1 média
En fait, ce débat semble plus philosophique et métamathématique que strictement mathématique, puisqu'il porte sur ce qu'est un « objet mathématique ». Dans la pratique, cette question et la réponse que l'on donne sont en général ignorées. Les diverses notions définies, qu'elles soient considérées comme des objets mathématiques ou comme des représentations d'objets mathématiques, le sont à partir des notions précédemment présentées, et leurs propriétés sont démontrées. Lire la suite
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INTUITION
- Écrit par Noël MOULOUD
- 6 585 mots
L'intuitionnisme de Brouwer, il est vrai, emprunte davantage aux évidences opératoires et leur demande de fonder la doctrine des ensembles dénombrables, mais il est caractéristique que la mathématique ultérieure ait écarté celles des conséquences intuitionnistes qui auraient limité l'ampleur des généralités : elle demande seulement à la méthode de l'énumération finie de garantir, au niveau de l'étude métamathématique, la consistance des systèmes formels. Lire la suite
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RÉCURSIVITÉ, logique mathématique
- Écrit par Kenneth Mc ALOON, Bernard JAULIN, Jean-Pierre RESSAYRE
- 8 914 mots
Les (semi-) fonctions récursives ont été introduites pour donner un équivalent mathématique à la notion métamathématique intuitive de (semi-) fonction effectivement ou mécaniquement calculable (cf. logique mathématique, chap. 4). Par souci de simplicité, nous considérons ici le cas des fonctions des entiers dans les entiers, bien que l'on puisse définir la notion de récursivité pour des fonctions des réels dans les réels, ou pour des fonctionnelles de type supérieur. Lire la suite
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