« Modulo »
-
Préciser avec l'index
-
-
Filtrer les résultats par type
-
-
DIVISIBILITÉ
- Écrit par Marcel DAVID
- 3 645 mots
, bm forment un système complet de résidus, modulo m, si ces nombres sont, deux à deux, non congrus modulo m ; ils correspondent donc aux m classes. La congruence modulo m étant stable dans l'addition et dans la multiplication, on peut munir l'ensemble des classes résiduelles des opérations de somme et de produit (avec [a]m + [b]m = [a + b]m et [a]m × [b]m = [ab]m). Lire la suite
-
NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques
- Écrit par Christian HOUZEL
- 12 998 mots
équations diophantiennes), au cas où A = Pn est une puissance d'un diviseur premier P = (p, ψ(η)), et on établit, par récurrence sur n, que tout entier cyclotomique est congru modulo Pn à un nombre de la forme :où les ai sont des entiers cyclotomiques déterminés d'une manière unique modulo P. Ainsi le nombre de classes modulo Pn est la puissance n-ième du nombre de classes modulo P, et on est ramené à n = 1, soit A = P ; alors P a seulement e conjugués distincts (p, σj ψ(η)), avec 0 ≤ j ≤ e − 1, qui sont répétés chacun f fois, et le produit de ces conjugués est p : on a donc NP = pf qui est bien le nombre de classes modulo P. Lire la suite
-
GERMAIN SOPHIE (1776-1831)
- Écrit par Jean MEYER
- 248 mots
xn + yn = zn (modulo p) n'a pas de solution ; 3. n n'est pas le résidu modulo p d'une puissance n-ième d'un nombre. En 1811, en 1813 et en 1816, Sophie Germain présenta trois mémoires pour expliquer théoriquement le phénomène de vibration des lames élastiques trouvé expérimentalement par le physicien Ernst Chladni. Le dernier en date, Mémoire sur les vibrations des lames élastiques, obtint le prix des sciences mathématiques de l'Académie des sciences. Lire la suite
-
LEGENDRE ADRIEN MARIE (1752-1833)
- Écrit par Jacques MEYER
- 295 mots
De toutes ses contributions aux mathématiques, il convient de citer : d'une part, les Exercices de calcul intégral (1811-1819) et le Traité des fonctions elliptiques (1825-1832), dans lesquels il introduisit de nouveaux outils d'analyse, qui portent toujours son nom, par exemple les « fonctions de Legendre », solutions des « équations différentielles de Legendre » (les solutions polynômiales pour les valeurs entières de n sont connues sous le nom de « polynômes de Legendre »)( — x2)y″ — 2xy′ + n(n + 1)y = 0 ; d'autre part, la Théorie des nombres (1798), ouvrage célèbre, car il contient la démonstration de la « loi de réciprocité quadratique », qui peut s'énoncer ainsi : soit p un nombre premier et n un nombre premier avec p, on appelle « symbole de Legendre » le nombre (n/p), égal à + 1 si n est résidu quadratique modulo p, et égal à — 1 dans le cas contraire ; on a alors pour tout couple (p, q) de nombres premiers impairs(p/q)(q/p) = (—1)((p—1)(q—1))/4, sauf si p et q sont tous deux congrus à 3 modulo 4. Lire la suite
-
OBJET UNIVERSEL, mathématique
- Écrit par Patrick DEHORNOY
- 1 050 mots
aq = ar où r est l'unique entier compris entre 0 et n – 1 congru à p + q modulo n. Il existe de multiples relations entre les groupes G et Gn. En particulier, certains sont images les uns des autres : par exemple, si f est l'application (bien définie) qui associe à la classe d'un entier modulo 8 sa classe modulo 4, alors G4 est l'image de G8 par f en ce sens que le produit de deux éléments f(a) et f(b) de G4 est f(ab), où ab est le produit de G8. Lire la suite
-
DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS
- Écrit par Marcel DAVID
- 4 514 mots
Répartition modulo 1 Quoiqu'il ne s'agisse pas à proprement parler d'approximation diophantienne, on peut ranger dans cet article l'étude des suites de nombres réels, modulo 1. Il s'agit, pour une suite (un), de la répartition sur [0, 1[ de {un} = un − [un] où [un] est la partie entière de un. Ce n'est qu'en 1884 que Kronecker établit que, si θ est irrationnel, ses multiples nθ sont, modulo 1, partout denses sur [0, 1[. Lire la suite
-
SMALE STEPHEN (1930- )
- Écrit par Jacques MEYER
- 322 mots
Le premier grand résultat de Smale fut, en 1956, son théorème du relèvement des homotopies des immersions d'une variété modulo une sous-variété. Il put ainsi établir que le plongement de la 2-sphère dans l'espace R3 est déformable (par des immersions) en un plongement antipodique. Son travail ouvrit la voie à l'étude et à la classification des immersions et plongements d'une variété différentiable dans une autre. Lire la suite
-
SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE
- Écrit par Christophe BREUIL
- 4 312 mots
Pour tout entier N positif non nul et toute représentation ρ̄ : Galois(̄ℚ/ℚ) → GL2(ℤ/3ℤ), on peut ainsi considérer le sous-ensemble R(N, ρ̄) de R des ρE telles que NE = N et ρE modulo 3 redonne ρ̄ (i.e. ρE,1 = ρ̄), et le sous-ensemble T(N, ρ̄) de R(N, ρ̄) des ρf telles que f est de niveau N et ρf modulo 3 redonne ρ̄. Bien sûr, si on prend N et ρ̄ quelconques, ces sous-ensembles sont en général tous les deux vides. Lire la suite
-
NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques
- Écrit par Christian HOUZEL
- 4 678 mots
équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne qu'une information insuffisante pour le problème initial ; on la raffine en étudiant les équations modulo pm pour tous les entiers m ≥ 1. L'anneau Z/pmZ n'est pas un corps, mais ses propriétés arithmétiques sont beaucoup plus simples que celles de Z : c'est un anneau fini qui a un seul idéal premier (engendré par la classe de p) ; les autres idéaux sont les puissances de l'idéal premier. Lire la suite
-
GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)
- Écrit par Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
- 4 886 mots
C'est ainsi que, s'il se conforme à l'usage établi en ce qui concerne le calcul des congruences modulo un entier donné n, il n'en est pas moins conscient du fait qu'il s'agit en réalité d'un calcul sur les classes d'entiers ne différant que par des multiples de n, bien plutôt que d'un calcul sur les entiers eux-mêmes (Disquisitiones arithmeticae, art. Lire la suite
