« Axiomes »
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AXIOMATIQUE
- Écrit par Georges GLAESER
- 2 036 mots
L'axiomatique commence par un inventaire exhaustif de toutes les propositions que l'on admet sans démonstration et qui ne sont pas des définitions ; ces propositions, appelées axiomes, ou parfois postulats, constitueront le point de départ de la théorie que l'on se propose d'édifier. Parmi les axiomes d'une théorie figurent des règles de déduction (appelées aussi axiomes de la logique) qui sont communes à toutes les sciences déductives. Lire la suite
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INÉGALITÉS Théories de la mesure des inégalités économiques
- Écrit par Thibault GAJDOS
- 4 838 mots
- 2 médias
La question essentielle est de savoir quelles propriétés (axiomes) cette relation de préférence vérifie. Il sera alors possible d'en dériver un indice d'inégalités. Les axiomes caractérisant les indices normatifs d'inégalités sont de deux ordres. Il existe un premier ensemble d'axiomes fondamentaux, communs à tous les indices normatifs. Ces axiomes permettent d'assurer l'existence d'une fonction représentant la relation de préférence (axiomes de Debreu), satisfaisant des conditions éthiques fondamentales. Lire la suite
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OBJET MATHÉMATIQUE
- Écrit par Patrick DEHORNOY
- 1 058 mots
D'abord, le choix des axiomes ne saurait être arbitraire : la discussion sur les axiomes à considérer et leur adéquation à une intuition partagée est primordiale, sauf à réduire les mathématiques à un exercice formel vide de contenu. Ensuite, choisir des axiomes ne garantit pas leur cohérence. Les axiomes proposés par Giuseppe Peano affirment l'existence d'objets ayant telles et telles propriétés, mais ne la démontrent pas. Lire la suite
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FRAENKEL ADOLF ABRAHAM HALEVI (1891-1965)
- Écrit par Bernard PIRE
- 242 mots
Ce système d’axiomes, modifié en 1922 par le mathématicien norvégien Albert Skolem (1887-1963), est maintenant désigné par les initiales ZFS. Sioniste convaincu, Fraenkel quitte l’Allemagne pour la Palestine après avoir passé un an à l’université de Kiel ; il enseigne à l’université hébraïque de Jérusalem de 1929 à sa retraite. Son étudiant Abraham Robinson (1918-1974) lui succédera en 1957 à la chaire de mathématiques. Lire la suite
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RUDIN MARY ELLEN (1924-2013)
- Écrit par Bernard PIRE
- 278 mots
À partir de 1950, elle étudie les implications d'un système d'axiomes proposé en 1932 par Moore pour la théorie des ensembles de points, ses relations à différents autres systèmes ou les espaces satisfaisant un sous-système d'axiomes. Professeure émérite, elle publie en 1998 une caractérisation des images continues au sens de Hausdorff des espaces compacts linéairement ordonnés. Lire la suite
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CONTINU HYPOTHÈSE DU
- Écrit par Patrick DEHORNOY
- 2 220 mots
Modèles et forcing Quels axiomes additionnels choisir ? Ajouter HC ou ¬HC ne saurait être une réponse, et la première tâche est de décrire le critère retenu par Woodin. Pour ce faire, on partira des notions de modèle de ZFC et de forcing. Comme les axiomes de ZFC ne portent que sur la relation d'appartenance, on peut considérer des structures abstraites (M, E), appelées modèles de ZFC, où E est une relation binaire sur M satisfaisant aux axiomes de ZFC. Lire la suite
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FORMALISME
- Écrit par Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY
- 5 001 mots
- 1 média
, ce qui suppose évidemment l'introduction d'axiomes spécifiques supplémentaires. Mais les axiomes « logiques » ne représentent alors qu'un sous-ensemble de l'ensemble des axiomes d'une théorie, qui sont situés sur le même plan et n'ont pas un usage différent dans la démonstration. On met ainsi clairement en évidence que l'ensemble des théorèmes, des vérités démontrées d'une théorie dépend simultanément des axiomes mathématiques et de la « logique » employée et peut varier en fonction des uns et de l'autre. Lire la suite
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DÉMONSTRATION (notions de base)
- Écrit par Philippe GRANAROLO
- 3 085 mots
C’est ainsi que son ouvrage majeur, L’Éthique (1677), se fonde sur quelques axiomes posés au début de la première partie de l’ouvrage, avant de démontrer les unes après les autres toutes les propositions qui découlent de ces axiomes. Calquée dans sa forme sur les Éléments d’Euclide, L’Éthique est écrite more geometrico (« à la manière des géomètres »), cas unique dans toute l’histoire de la philosophie. Lire la suite
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RÉALISME, mathématique
- Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
- 2 167 mots
Et son indécidabilité à partir des axiomes usuels « peut seulement signifier que ces axiomes ne contiennent pas une description complète de cette réalité ». Il reste à découvrir de nouveaux axiomes qui, ajoutés aux anciens, rendront l'hypothèse décidable. Accès à la réalité idéelle Mais quel est l'accès au monde idéel objectif supposé par le réaliste ? Pour les conceptualistes stricts, tels Bolzano et Frege, l'intuition n'est d'aucun secours. Lire la suite
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HILBERT DAVID (1862-1943)
- Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
- 14 726 mots
- 1 média
Problème 2 : consistance de l'arithmétique Fonder une science, selon Hilbert, c'est déterminer « un système d'axiomes contenant une description exacte et complète des rapports que soutiennent les idées élémentaires de cette science ». Les axiomes constituent, en même temps, une définition de ces idées élémentaires, et les seules assertions relevant de cette science qui soient réputées valides sont celles qui se déduisent des axiomes en un nombre fini d'étapes. Lire la suite
