« Arithmétique »
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ARITHMÉTIQUES (Diophante)
- Écrit par Bernard PIRE
- 188 mots
Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques sont une collection de solutions numériques de 130 équations. La méthode de résolution des équations indéterminées constitue ce qu'on a appelé l'analyse diophantienne. Lire la suite
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RECHERCHES ARITHMÉTIQUES (C. F. Gauss)
- Écrit par Bernard PIRE
- 190 mots
Gauss y montre comment construire un polygone à 17 côtés à l'aide de la règle et du compas et explique que les principes de cette théorie des polygones réguliers « ne peuvent être puisés que dans l'arithmétique transcendante ». Lire la suite
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FREGE GOTTLOB (1848-1925)
- Écrit par Claude IMBERT
- 3 259 mots
La caractéristique Pour formaliser le raisonnement arithmétique, Frege conçut une caractéristique apte à dépeindre les actes logiques aussi sûrement que l'arithmétique signale ses opérations. Cependant la logique de Frege n'imite pas l'arithmétique en utilisant les mêmes symboles d'opérations (+, ×), comme le firent Leibniz et Boole ; l'idéographie emprunte à la mathématique un procédé d'algèbre, la double distinction des constantes et des variables, des fonctions et des arguments. Lire la suite
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DEDEKIND RICHARD (1831-1916)
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 2 064 mots
Comme on sait que les nombres rationnels peuvent se définir à partir des entiers naturels, la définition purement arithmétique des nombres réels (qu'avaient obtenue aussi par d'autres procédés Weierstrass, Méray et Cantor indépendamment de Dedekind) mettait donc les entiers naturels à la base de toute l'analyse classique. Dans Was sind und was sollen die Zahlen, dont la conception remonte aussi aux années 1872-1878, Dedekind montre qu'on peut rattacher les bases de l'arithmétique elle-même à la théorie des ensembles (que Cantor développait dans une autre direction à la même époque). Lire la suite
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DICKSON LEONARD EUGENE (1874-1954)
- Écrit par Jacques MEYER
- 235 mots
En arithmétique, Dickson publie une monumentale History of the Theory of Numbers (1919-1923), en trois volumes. Citons, parmi ses nombreuses recherches, une généralisation du petit théorème de Fermat, des études sur les nombres parfaits et abondants, sur le grand théorème de Fermat, sur la théorie arithmétique des formes quadratiques ; de plus, Dickson apporte une contribution essentielle au problème de Waring. Lire la suite
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CHURCH ALONZO (1903-1995)
- Écrit par Françoise ARMENGAUD
- 616 mots
Le symbolisme arithmétique nous permet de formuler des propositions dont on ne peut déterminer la valeur de vérité par aucune technique connue de calcul ou de raisonnement. Ainsi la conjecture de Goldbach, certaines propositions élémentaires de l'arithmétique n'ont jusqu'ici reçu aucune preuve. Pourrait-on imaginer une technique générale pour déterminer la vérité ou la probabilité de ce genre de propositions ? Church démontre par la méthode de diagonalisation qu'il n'en est rien. Lire la suite
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STEVIN SIMON (1548-1620)
- Écrit par Frédéric de BUZON
- 1 492 mots
- 1 média
Stevin résume ses opinions en arithmétique par quelques formules révolutionnaires, qu’il nomme ses « thèses mathématiques », insérées dans sa Pratique d’arithmétique jointe au traité d’arithmétique. Avec sa thèse I « Que l’unité est nombre », il considère que 1 est un nombre comme les autres (au lieu d’être le « principe des nombres », car les Anciens considéraient que les nombres commençaient à 2), ce qui apparaît de manière évidente dans l’ensemble des opérations arithmétiques. Lire la suite
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FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique
- Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
- 1 492 mots
Une fois formalisées, les mathématiques abstraites peuvent être considérées comme réduites à un ensemble de symboles dénués de sens, ensemble dont les éléments possèdent les mêmes propriétés de concrétude que les symboles sur lesquels porte l'arithmétique finitiste. En particulier, la question de savoir si une suite de symboles est bien une démonstration formalisée est tout à fait analogue à la question de savoir si un entier est premier. Lire la suite
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PAPPUS (IVe s.)
- Écrit par Jacques MEYER
- 410 mots
Le premier (qui est maintenant perdu) traitait sans doute d'arithmétique ; le livre II, dont il ne reste que des fragments, expose un système de notation et de numération des grands nombres dû à Apollonios ; le livre III traite de la théorie des proportions et des moyennes (arithmétique, géométrique et harmonique) ; dans le livre IV, Pappus généralise le théorème de Pythagore et étudie différentes courbes (dont la spirale d'Archimède) ; le livre V est l'étude de problèmes isopérimétriques (comparaison entre les aires de figures ayant le même périmètre, entre les volumes de solides ayant la même aire) ; l'astronomie est étudiée dans le livre VI qui consiste en une introduction à l'Almageste de Ptolémée ; le livre VII est historiquement très important car, de la trentaine d'ouvrages cités, seuls les commentaires écrits par Pappus nous sont parvenus ; le livre VIII traite de mécanique et des propriétés du centre de gravité. Lire la suite
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MÉDIANE, statistique
- Écrit par P. SCHAEFER
- 393 mots
Ainsi, lorsque la médiane est égale à la moyenne arithmétique et au mode (valeur du caractère qui se présente dans la série avec la plus grande fréquence) la distribution est dite symétrique. Dans les autres cas, elle est dite asymétrique et il est alors possible de calculer, pour la caractériser, des coefficients d'asymétrie. Lire la suite
