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FONCTIONS ANALYTIQUES Représentation conforme

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 5 285 mots
  •  • 10 médias

La projection stéréographique de pôle (0, 0, 1) sur le plan t = 0 est l'application qui, à chaque point (x, y, t ) de la sphère distinct de (0, 0, 1), associe le point où la droite joignant (0, 0, 1) à (x, y, t ) rencontre le plan t = 0. Ainsi, l'image de (x, y, t ) est le point :soit :avec la notation complexe. Il est facile de montrer que cette application conserve les angles (c'est-à-dire que l'application linéaire tangente possède cette propriété). […] Lire la suite

Les médias de la recherche « 0(* » :

Déphaseur 0-360 degrés

Déphaseur 0-360 degrés
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Antarctique : température moyenne annuelle au niveau 0.

Antarctique : température moyenne annuelle au niveau 0.
Crédits : Encyclopædia Universalis France

carte

Bombardier britannique Handley Page 0/400

Bombardier britannique Handley Page 0/400
Crédits : Spencer Arnold/ Getty Images

photographie

Équation de Burger

Équation de Burger
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

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STABILITÉ

  • Écrit par 
  • Michel CAZIN
  •  • 3 566 mots
  •  • 2 médias

Étudions la stabilité de la solution : p = 0, q = 0 et r = r0 > 0. Introduisons les nouvelles variables ξ, η et ζ : On obtient le système : Si A ≥ B > C, nous prendrons :définie positive ; on vérifie que V′ = 0 et, par le premier théorème de Liapounoff, on peut en déduire la stabilité de la solution ξ = η = ζ = 0. Si A ≤ B < C, nous prendrons :définie négative, telle encore que V′ = 0 ; il y a donc stabilité en vertu du premier théorème de Liapounoff. […] Lire la suite

RÉMANENCE, physique

  • Écrit par 
  • Viorel SERGIESCO
  •  • 469 mots

Ainsi, pour B = 0, si :A(0)aller = 0 est la valeur stable,A(0)retour = Ar ≠ 0 est la valeur métastable. La rémanence est un cas particulier de métastabilité. […] Lire la suite

DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Christian COATMELEC, 
  • Maurice ROSEAU, 
  • Universalis
  •  • 11 635 mots

Exemple : soit y(t ) une fonction continue pourvu de dérivées première et seconde continues pour t ∈ [0, 1] et telle que y(0) = y(1) = 0. Alors y(t ) satisfait à y″(t ) = r(t ), r(t ) continue. Par suite, y(t ) peut être développée en série de Fourier :avec :la convergence étant uniforme sur l'intervalle [0, 1]. On aura reconnu que 2 sin (nπt ), n = 1, 2, est le système orthogonal des fonctions propres du système y″ = λ y, y(0) = y(1) = 0. […] Lire la suite

CONDUCTIVITÉ ou CONDUCTIBILITÉ, physique

  • Écrit par 
  • Viorel SERGIESCO
  •  • 668 mots

La conductivité électrique σ et la conductivité thermique κ sont des constantes spécifiques de tout corps homogène, définies par les relations i = σE (avec grad T = 0) et q = —κ grad T (avec i = 0), où i est la densité du courant électrique, q la densité du courant thermique, E le champ électrique et T la température absolue. Les restrictions grad T = 0 pour σ et i = 0 pour κ découlent du fait que, si les porteurs d'électricité et de chaleur sont les mêmes et si l'on a simultanément E ≠ 0 et grad T ≠ 0, i et q sont liés par les relations de la thermodynamique des processus irréversibles. […] Lire la suite

EXPONENTIELLE & LOGARITHME

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 964 mots
  •  • 8 médias

Remarquons d'abord que la relation fonctionnelle entraîne :pour tout entier positif n ; d'autre part, u(1) = u(1 + 0) = u(1) + u(0), d'où u(0) = 0. Pour les entiers négatifs, on a : 0 = u(0) = u(n + (−n)) = u(n) + u(−n), d'où :ainsi, u(x) = ax pour tout entier relatif. Soit enfin x = p/q un nombre rationnel ; on a :d'où :et finalement : Pour a = 0, on obtient l'application nulle et, pour a ≠ 0, ces homomorphismes sont des isomorphismes, c'est-à-dire qu'ils sont bijectifs. […] Lire la suite

1962 7e Coupe du monde de football

  • Écrit par 
  • Jean DURRY
  •  • 903 mots

À Rancagua, enfin, dans le groupe 4, une nouvelle Hongrie emmenée par Florian Albert bat l'Angleterre (2-0), écrase la Bulgarie (6-1), concède le nul à l'Argentine (0-0) ; quant à l'Angleterre, sa victoire 3 buts à 1 contre l'Argentine lui permet de participer au tour suivant, même si elle ne marque pas contre la Bulgarie (0-0). Les quarts de finale sont serrés. […] Lire la suite

1966 8e Coupe du monde de football

  • Écrit par 
  • Jean DURRY
  •  • 825 mots

bat sans génie la Corée du Nord (3-0), l'Italie (1-0) et le Chili (2-1) ; mais – résultat stupéfiant – les Italiens, qui se sont défaits des Chiliens (2-0, dont un but de Sandro Mazzola, fils d'une des victimes de la catastrophe aérienne de Superga en 1949), vont être éliminés par les rapides Coréens, grâce à un but de Pak-Do-Ik (1-0). Le moins que l'on puisse dire est que les arbitres allemand et anglais ne favorisent pas les Sud-Américains lors des quarts de finale Angleterre-Argentine (1-0) et Allemagne-Uruguay (4-0) ; l'U. […] Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 4 678 mots

Les puissances successives de l'idéal maximal forment une suite décroissante (pmZp) d'idéaux dont l'intersection est visiblement {0} ; le plus grand de ces idéaux est p0Zp = Zp. La multiplication par pn est injective dans Zp ; il suffit de le vérifier pour n = 1, et px = 0 équivaut à pxm = 0 dans Z/pmZ pour tout m, ce qui donne :d'où xm-1 = 0. L'anneau Zp s'applique donc bijectivement sur l'idéal pnZp, et l'ensemble U = Zp − pZp de ses éléments inversibles s'applique bijectivement sur :on voit ainsi que l'ensemble Zp − {0} est réunion disjointe des pnU (n ∈ N). […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 269 mots
  •  • 3 médias

La différence fondamentale entre le cas 1 < p < n et les cas p = n et p = 0 réside dans l'existence de vecteurs x ≠ 0 tels que Φ(x, x) = 0, dits vecteurs isotropes (leur ensemble est appelé cône isotrope de E). Plus généralement, il y a des sous-espaces V ≠ {0} tels que la restriction de Φ à V soit identiquement nulle ; on dit que ces espaces sont totalement isotropes et leur dimension maximale est :appelée indice de Witt de Φ. […] Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) Théorie analytique

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 7 744 mots
  •  • 1 média

Elle contient évidemment l'algèbre des polynômes K[X] ; en outre, pour qu'une série formelle :ait un inverse dans K[[X]], il faut et il suffit que ξ0 ≠ 0. Les fractions rationnelles P(X)/Q(X) telles que Q(0) ≠ 0 sont donc des éléments de K[[X]] ; en particulier, on a : L'ordre ω(f) d'une série formelle :non nulle est le plus petit exposant n tel que ξn ≠ 0. […] Lire la suite

SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

  • Écrit par 
  • Alain CHENCINER
  •  • 9 832 mots
  •  • 19 médias

Notons en particulier En = C∞0 (Rn, R) et désignons par Ln ⊂ C∞0 (Rn, Rn) le groupe des germes en 0 d'applications ϕ : Rn → Rn vérifiant ϕ(0) = 0, avec Dϕ(0) inversible ; la formule ϕ ( f = f ∘ ϕ−1 définit une action de Ln sur En. L'application f ↦ jkf (0) de Rn dans Jk 0(Rn, R) se factorise en une application de En dans Jk 0(Rn, R), encore notée de la même façon (nous confondrons d'ailleurs dans une même notation une fonction et son germe s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point considéré). […] Lire la suite

OSCILLATEURS

  • Écrit par 
  • Michel CAZIN
  •  • 2 902 mots
  •  • 3 médias

Les conditions nécessaires et suffisantes, dites conditions de Routh, pour que l'équation Δn = 0 ait toutes ses racines à partie réelle négative sont que tous les termes de la première colonne du tableau complet ainsi formé soient positifs : a0 > 0, a1 > 0, b0 > 0, b1 > 0 ... ; par exemple, pour le polynôme :ces conditions nécessaires et suffisantes peuvent s'exprimer par les relations suivantes : a0 > 0, a1 > 0, b0 = a1a2 − a0a3 > 0, b1 = b0a3 − a21a4 > 0, a4 > 0. […] Lire la suite

MARTINGALES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Pierre CRÉPEL, 
  • Jean MEMIN, 
  • Albert RAUGI
  •  • 8 257 mots
  •  • 2 médias

Dans tout ce paragraphe I = [0, ∞[. Exemples Exemple 7 : Soit (Nt), t ≥ 0, le processus de comptage de Poisson de paramètre 1 et (Ft), t ≥ 0, la filtration naturelle de (Nt), t ≥ 0. La propriété pour (Nt), t ≥ 0, d'avoir ses accroissements indépendants permet d'obtenir que, avec t ≥ 0,soient des martingales. Exemple 8 : Un processus (Bt), t ≥ 0, continu, adapté à une filtration (Ft), t ≥ 0, est un mouvement brownien si, pour tout s et pour tout t positifs, la variable Bt+s − Bt est indépendante de Ft et suit une loi gaussienne centrée de variance s ; il est facile de voir, alors, que (Bt, Ft), t ≥ 0, et (Bt 2 − t, Ft), t ≤ 0, sont des martingales. […] Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 12 743 mots
  •  • 9 médias

Ainsi :car la fonction sous le signe d'intégration est la dérivée (en t) de la fonction :qui est périodique de période 2π, d'où g′(λ) = F(2π) − F(0) = 0. Ainsi, g est constante dans [0, 1], donc nulle puisque g(0) = 0. Écrivant que g(1) = 0, on obtient, en sortant f (z) : Remarquons maintenant que, puisque r > |z|, on a :où cette série est normalement convergente pour t réel. […] Lire la suite

ORTHOGONAUX POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 2 255 mots

On suppose que μ = b(α) / a′(α) > 0 et que, d'autre part, b(x) / a(x) admet une limite strictement négative ν, finie ou infinie, lorsque x tend vers + ∞. Pour tout couple (f, g) d'éléments de E, la fonction rfḡ est alors intégrable sur I, et U est encore hermitien pour le produit hermitien précédemment défini. Lorsque a(x) = x − α et que b(x) = γx + δ, avec γ ≠ 0, les conditions μ > 0 et ν < 0 sont équivalentes aux conditions γ < 0 et γα + δ > 0. […] Lire la suite

BIT (binary digit)

  • Écrit par 
  • Pierre GOUJON
  •  • 327 mots

Puisqu'on se trouve ici dans un système de numération à base 2, deux symboles (habituellement 0 et 1) suffisent pour représenter tous les nombres. Un bit peut donc prendre les valeurs 0 ou 1. Deux bits sont nécessaires pour représenter les nombres décimaux de 0 à 3 ; 3 bits pour les nombres décimaux de 0 à 7, etc. D'une manière générale, n bits permettent de représenter les nombres décimaux de 0 à 2n- 1. […] Lire la suite

1990 14e Coupe du monde de football

  • Écrit par 
  • Jean DURRY
  •  • 756 mots

Les huitièmes de finale voient un seul score important, la Tchécoslovaquie battant le Costa Rica 4 buts à 1 ; le Cameroun continue face à la Colombie (2-1), l'Angleterre face à la Belgique ; l'Allemagne et l'Argentine sortent les Pays-Bas (2-1) et le Brésil (1-0), mais sans aucun brio ; il faut les tirs au but ou la prolongation pour que l'Eire condamne la Roumanie (0-0) et la Yougoslavie l'Espagne (2-1) ; quant à l'Italie, elle ne trouve en face d'elle qu'un Uruguay vraiment trop lent (2-0). […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS
  •  • 10 628 mots
  •  • 3 médias

Il convient de comparer l'équation (3) à l'équation différentielle ordinaire : On remarque que 0, α et 1 sont des points stationnaires pour l'équation (4), que 0 et 1 sont des points stables, tandis que α est un point stationnaire instable. De plus, l'intervalle [0, 1] est une région invariante pour l'équation aux dérivées partielles (3) (dans ce cas, la forme classique du principe du maximum est suffisante). […] Lire la suite

BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 608 mots
  •  • 1 média

On appelle algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) la donnée d'un ensemble A (non vide) muni de deux lois de composition interne ∨ et ∧, associatives et commutatives, d'une application unaire ¬ et de deux éléments privilégiés 0 et 1, ces données vérifiant les axiomes suivants : On appelle anneau de Boole la donnée (A ; +, ., 0, 1) d'un anneau commutatif unitaire vérifiant : Les structures d'algèbre de Boole et d'anneau de Boole sont équivalentes au sens suivant : — On peut associer à toute algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) l'anneau de Boole (A ; +, . […] Lire la suite

1974 10e Coupe du monde de football

  • Écrit par 
  • Jean DURRY
  •  • 1 007 mots

Dans le groupe 3, les Pays-Bas et la Suède débutent par un 0-0 ; mais les équipiers du génial attaquant aux longs cheveux de l'Ajax d'Amsterdam puis de Barcelone Johan Cruijff ne vont pas manquer leur entrée dans le tableau final de la Coupe du monde : ils dominent 2 buts à 0 l'Uruguay au jeu vieilli – que la Suède bat 3 buts à 0 – et 4 buts à 1 la Bulgarie. […] Lire la suite

VIBRATIONS MÉCANIQUES

  • Écrit par 
  • Michel CAZIN
  •  • 6 630 mots
  •  • 11 médias

L'équation devient dans ce cas :à l'équilibre q = q0, q0 étant solution de F(q0, 0) = 0, on a q′ = 0 et q″ = 0. Posons q = q0 + ε, q′ = ε′, q″ = ε″. Le développement de la fonction F(q, q′), limité au premier ordre, s'écrit au voisinage de (q0, 0) :lorsqu'on tient compte de la condition F(q0, 0) = 0, on obtient l'équation :qui peut encore s'écrire :en posant :c'est l'équation de l'oscillateur associé au problème étudié. […] Lire la suite

1986 13e Coupe du monde de football

  • Écrit par 
  • Jean DURRY
  •  • 1 132 mots

Dans le groupe E, l'Écosse ne participera pas au tour suivant ; le Danemark bat l'Écosse (1-0), virevolte, avec son buteur Elkjaer-Larsen, contre l'Uruguay (6-1), et devance l'Allemagne (2-0). Qui aurait pensé que le Maroc dominerait le groupe F ? C'est pourtant le cas lorsque, après deux matchs au score nul (0-0) face à la Pologne et à l'Angleterre, Khairi (2) et Krimau forgent un 3 buts à 1 qui réexpédie le Portugal vers Lisbonne. […] Lire la suite

ITÉRATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE, 
  • Universalis
  •  • 830 mots

En Maple, cela donne : somme récursive := proc (L) if nops(L)=0 then 0 else L[1] + somme récursive(L[2..nops(L)]) fi ; end ; (La notation L[2..nops(L)] représente la liste L sans son premier élément.) […] Lire la suite

HEAVISIDE ÉCHELON DE

  • Écrit par 
  • Pierre MOYEN
  •  • 42 mots

Fonction utilisée en calcul symbolique et notée ν(t) ou Y(t) dont la valeur est 1 pour t ≥ 0 et 0 pour t < 0. L'échelon de Heaviside sert à représenter un signal commençant à t = t0, et donc pour introduire une discontinuité. […] Lire la suite

2002 17e Coupe du monde de football

  • Écrit par 
  • Pierre LAGRUE
  •  • 1 828 mots

Le Mexique domine le groupe G, alors que l'Italie, décevante, ne doit sa qualification qu'au succès inattendu de l'Équateur face à la Croatie (1-0) le 13 juin à Yokohama. Le Japon, qui fait match nul avec la Belgique (2-2) le 4 juin à Saitama, bat la Russie (1-0) le 9 juin à Yokohama et la Tunisie le 14 juin à Ōsaka (2-0), termine en tête du groupe H, devant la Belgique, qui se qualifie en dominant la Russie (3-2) le 14 juin à Shizuoka. […] Lire la suite

GAMMA FONCTION

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 580 mots
  •  • 2 médias

Pour x > 0, cette intégrale est convergente au voisinage de 0, car e-ttx-1 ∼ tx-1 pour x tendant vers 0, avec x − 1 > − 1 ; la convergence pour l'infini résulte de la présence du terme exponentiel e-t. En fait, on peut montrer que l'intégrale (2) et toutes les intégrales obtenues en dérivant un nombre quelconque de fois par rapport à x sous le signe d'intégration sont uniformément convergentes au voisinage de 0 et de + ∞. […] Lire la suite

2006 18e Coupe du monde de football

  • Écrit par 
  • Pierre LAGRUE
  •  • 3 075 mots

Les Albicelestes ont notamment émerveillé les spectateurs de l'Arena Aufschalke de Gelsenkirchen en humiliant la Serbie-et-Monténégro (6-0). Dans le groupe D, le Portugal entre en douceur dans la compétition en battant l'Angola (1-0), puis l'Iran (2-0). Les coéquipiers de Luis Figoterminent en tête de ce groupe, grâce à un succès remporté sur le Mexique (2-1). […] Lire la suite

GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

  • Écrit par 
  • Paulette LIBERMANN
  •  • 6 997 mots
  •  • 12 médias

Par exemple, dans le plan, l'équation :représente une courbe régulière pour a ≠ 0, car la différentielle de F(x, y) = (x2 + y2)3 − (x2 − y2)2 ne s'annule que pour x = y = 0, et alors F(0, 0) = 0. Par contre, l'équation (x2 + y2)3 − (x2 − y2)2 = 0 représente une courbe présentant une singularité à l'origine : c'est le « trèfle à quatre feuilles » vu ci-dessus. […] Lire la suite

PROBABILITÉS CALCUL DES

  • Écrit par 
  • Daniel DUGUÉ
  •  • 11 838 mots
  •  • 6 médias

Un exemple classique de cette dernière situation est la fonction attachée à l'ensemble triadique de Cantor : le nombre x étant compris entre 0 et 1, on l'exprime dans le système de base 3, soit :où ai est égal à 0, 1 ou 2. Considérons tous les x qui peuvent s'exprimer uniquement avec des ai égaux à 0 ou 2 (dans le cas où deux représentations sont possibles, on retiendra x si l'une des deux représentations ne comporte que des 0 ou des 2). […] Lire la suite

SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

  • Écrit par 
  • Christophe BREUIL
  •  • 4 312 mots

En fait, il est très pratique en géométrie algébrique de remplacer l'équation (2) par l'équation « homogénéisée » : (3) Y2Z – X3 – AXZ2 – BZ3 = 0 et de définir plutôt E(ℝ) comme l'ensemble des classes d'équivalence de triplets (X, Y, Z) ∈ ℝ3 – {(0, 0, 0)} solution de (3) pour la relation d'équivalence (X, Y, Z) ∼ (λX, λY, λZ) où λ ∈ ℝ – {0}. Les classes d'équivalence des triplets (X, Y, Z) solutions de (3) avec Z ≠ 0 correspondent exactement aux solutions de (2) en associant à une telle classe les coordonnées (X/Z, Y/Z). […] Lire la suite

MORSE HAROLD CALVIN MARSTON (1892-1977)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 048 mots

Supposons, pour simplifier, M compacte et connexe ; pour tout point x ∈ M et tout vecteur tangent unitaire h0 en x0, il y a une géodésique et une seule t↦γ(h0, t) qui soit définie dans R tout entier et telle que γ(h0, 0) = x0 et que h0 soit le vecteur tangent unitaire à γ au point t = 0 ; γ (h0, t) ne dépend que du vecteur tangent th0 et on pose γ(h0, t) = exp (th0). […] Lire la suite

POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 2 265 mots

Nous pouvons supposer I ≠ }0{ et nous choisissons dans I un polynôme B ≠ 0 de degré minimum. Soit A ∈ I ; la division euclidienne (7) de A par B entraîne que R = A − BQ appartient à I puisque I est un idéal qui contient A et B. L'inégalité d0(R) < d0(B) entraîne R = 0 puisque B est de degré minimum parmi les polynômes ≠ 0. Ainsi l'idéal I est formé des multiples du polynôme B et est donc principal. […] Lire la suite

ASYMPTOTIQUES CALCULS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 250 mots
  •  • 1 média

En particulier, les solutions tendent vers 0 à l'infini si et seulement si, pour tout j, on a Re λj ≤ 0. Lorsque A n'est pas diagonalisable et que λj est d'indice nj, il existe des solutions se comportant comme tk ejt, où 0 ≤ k ≤ nj − 1. Les solutions tendent encore vers 0 à l'infini si et seulement si Re λj < 0. Examinons maintenant l'effet d'une perturbation t ↦ R (t) de A sur le comportement asymptotique d'une solution du système linéaire (1). […] Lire la suite

1978 11e Coupe du monde de football

  • Écrit par 
  • Jean DURRY
  •  • 1 337 mots

Dans le groupe 2, l'Allemagne, avec Sepp Maier, n'encaisse pas un seul but en trois matchs, mais se contente de maigres 0 à 0 contre la surprenante Tunisie et contre la Pologne, première de cette poule où les filets du Mexique ont tremblé douze fois (dont 6 face aux Allemands). Dans le groupe 3, malgré le talent de leur gardien Ronnie Hellström, déjà remarquable quatre ans plus tôt, la Suède est à la traîne, ne prenant qu'un seul point contre un laborieux Brésil (1-1), qui reste inefficace contre l'Espagne (0-0) et ne marque qu'une fois devant l'Autriche (1-0), ce qui lui assure tout de même sa qualification comme son vaincu du jour, l'Espagne ayant perdu dès le 3 juin le match essentiel contre cette même Autriche (2-1). […] Lire la suite

BRIGGS-HALDANE MODÈLE DE

  • Écrit par 
  • Christophe LÉGER
  •  • 526 mots

Pour calculer la vitesse initiale de la réaction, on considère que la concentration S en substrat est constante et égale à la concentration initiale : [S] ≈ [S]0. Le complexe ES est donc formé à partir de E avec une constante de vitesse de pseudo-ordre 1, k1 × [S]0. Selon les lois de la cinétique chimique, la vitesse de la réaction est : v = d[P]/dt = k2 × [ES]. […] Lire la suite

SYMBOLIQUE CALCUL

  • Écrit par 
  • Robert PALLU DE LA BARRIÈRE
  •  • 2 356 mots
  •  • 3 médias

Soit alors f une fonction à support positif, continûment dérivable pour t > 0, continue à droite pour t = 0. On a :ce qui s'écrit aussi :d'où :c'est-à-dire : Si l'on a f (0) = 0, on trouve la formule simplifiée :ce sont les discontinuités pour t = 0 qui compliquent les formules liant les transformées de Laplace d'une fonction à celles de ses dérivées. […] Lire la suite

INTÉGRALES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Michel HERVÉ, 
  • Universalis
  •  • 2 459 mots

Soit E de dimension infinie et K compact : alors, la valeur 0 est spectrale, mais elle n'est pas propre en général ; au contraire, si ζ ≠ 0, on a pour l'opérateur K − ζI l'alternative de Fredholm telle qu'elle a été énoncée à la fin du chapitre 3, de sorte qu'une valeur ζ ≠ 0 est propre si et seulement si elle est spectrale. S'il y a de telles valeurs, elles sont en nombre fini ou forment une suite tendant vers 0. […] Lire la suite

VARIATIONS CALCUL DES

  • Écrit par 
  • Claude GODBILLON
  •  • 3 617 mots
  •  • 1 média

On peut supposer qu'il existe une solution de l'équation différentielle (Q + w)2 − R(P + w′) = 0 sur cet intervalle. On a alors l'inégalité δ2J[f ](ω) < 0 pour la fonction ω qui intervient dans la preuve du lemme 1, ce qui est absurde. L'expression précédente de δ2J[f ] montre que, si l'équation :a une solution sur [a, b], la condition R > 0 entraîne δ2J[f ](ω) > 0 pour toute variation ω non nulle. […] Lire la suite

COURBES ALGÉBRIQUES

  • Écrit par 
  • Luc GAUTHIER
  •  • 4 255 mots
  •  • 8 médias

Elle admet les trois sommets du repère (0, 0, 1 ; 0, 1, 0 ; 1, 0, 0) comme points doubles, en chacun desquels il y a une tangente unique : respectivement les droites x = y, z = x, y = z, concourantes au point unitaire. Lorsque le repère est choisi suivant un triangle équilatéral dont le point unitaire est le centre, la courbe métrique ainsi définie est connue sous le nom d'hypocycloïde à trois rebroussements. […] Lire la suite

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 423 mots

La nature d'une équation diophantienne f(x, y) = 0 à deux variables est très différente suivant que l'on recherche des solutions en nombres rationnels ou bien en nombres entiers. La complexité de cette équation se mesure par le degré du polynôme f, mais aussi par un nombre entier appelé le genre : les droites et les coniques sont de genre 0, les courbes elliptiques sont de genre 1. […] Lire la suite

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 12 263 mots
  •  • 7 médias

Si X est défini, dans kn, par les équations g1 = 0, g2 = 0, ..., gs = 0, et si f est la restriction à X d'un polynôme f ∈ k[x1, x2, ..., xn], alors D(f ) est la projection sur kn de l'ensemble algébrique Y ⊂ kn+1 = kn × k défini par les équations g1 = 0, g2 = 0, ..., gs = 0 et 1 − tf = 0. La projection : (x, t ) ↦ x définit un isomorphisme d'espaces localement annelés de Y sur D(f ). […] Lire la suite

PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES

  • Écrit par 
  • Michel CAZIN
  •  • 2 177 mots
  •  • 4 médias

 cos β, où le cas β = π/2 (c'est-à-dire zg vertical) est exclu, et ω2 = mgea/C, où ω est la pulsation et C le moment d'inertie de (S) par rapport à Oz : On voit que α″0 = − ω2 sin α0 ne peut être nul que si α0 est de sinus nul. Si α′0 = 0, α0 = 0 correspond à un équilibre stable et α0 = π correspond à un équilibre instable. Par intégration, on obtient une équation où les variables se séparent :ou : Excluant les cas d'équilibre où α′ ≡ 0, on voit que ε = + 1 ou − 1 (ε étant du signe de α′0 si α′0 n'est pas nul et du signe de α0″ si α′0 = 0). […] Lire la suite

1970 9e Coupe du monde de football

  • Écrit par 
  • Jean DURRY
  •  • 954 mots

ne donne rien (0-0) ; pourtant cette IXe Coupe du monde va constituer la plus belle fête de l'histoire du football ; dans le groupe 1, ces deux premiers protagonistes se montreront en tout cas supérieurs à la Belgique et au Salvador. Dans le groupe 2, à Puebla et Toluca, l'Italie et l'Uruguay, pourtant battu par la Suède 1 but à 0, se qualifient ; Suède et Israël sont éliminés. […] Lire la suite

1958 6e Coupe du monde de football

  • Écrit par 
  • Jean DURRY
  •  • 939 mots

Les qualifiés pour la phase finale prennent le chemin de la Suède, où douze villes se préparent à accueillir les matchs des douze pays européens et des quatre nations latino-américaines ; Belgique, Espagne, Italie, Pays-Bas, Suisse ne sont pas du voyage, non plus que l'Uruguay, battu 5 buts à 0 à Asunción par le modeste Paraguay ! Dans son groupe, la France, avec 5 buts de l'avant-centre Thadée Cisowski, a fêté le 11 novembre 1956 en battant la Belgique 6 buts à 3, puis elle a infligé à l'Islande un écrasant 8 buts à 0 à Nantes en juin 1957, résultats qu'elle confirmera dans les matchs retour respectifs (0-0 et 5-1). […] Lire la suite

SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL
  •  • 3 056 mots

 3) de [0, + ∞[ dans E admettant 0 pour limite à l'infini, (αn) une suite strictement croissante de nombres réels positifs tendant vers + ∞ telle que α0 = 0 et que la suite (αn+1 − αn) soit bornée, et enfin A la série dont le terme général est défini par la relation :pour que l'intégrale impropre :converge, il faut et il suffit que la série A converge. […] Lire la suite

NOMBRES COMPLEXES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 3 421 mots
  •  • 2 médias

Si z ≠ 0, le nombre complexe z/ |z| est de module 1 et on voit facilement que l'application qui à tout nombre complexe z ≠ 0 associe le couple (|z|, z/|z|) est une bijection de C* sur l'ensemble R*+ × U des couples (r, u) d'un nombre réel r > 0 et d'un élément u ∈ U ; la bijection réciproque associe à un tel couple (r, u) le nombre complexe ru, de module r. […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 367 mots

Il est nécessaire dans ce nouveau cadre de reformuler le problème, puisque la restriction d'une distribution à l'hyperplan t = 0, qui intervient dans les données de Cauchy, n'a a priori pas de sens. Notons θ la fonction qui vaut 0 pour t < 0 et 1 pour t ≥ 0, et δ la distribution de Dirac. La fonction u vérifie les conditions (2) et (3) si et seulement si on a l'équation entre distributions :En généralisant cette formule, on est amené à poser le problème de Cauchy de la façon suivante : « Trouver une distribution u à support contenu dans le demi-espace t ≥ 0 qui vérifie : Pu = T, T distribution donnée à support contenu dans ce même demi-espace. […] Lire la suite

CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 391 mots

La théorie des ensembles permet, d'après John von Neumann (1903-1957), de construire les objets mathématiques rudimentaires suivants : Ø (le vide), encore noté 0, et, pour tout ensemble x, son « successeur » x+ = x∪{x}. À partir de là, on peut imaginer une suite de successeurs bâtis à partir de 0 de la manière suivante : 1 = 0+ = Ø∪{Ø} = {Ø} = {0}, 2 = 1+ = 1∪{1} = {0}∪{1} = {0,1}, 3 = 2+ = 2∪{2} = {0, 1, 2} et ainsi de suite. […] Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 12 998 mots

On appelle maintenant nombre algébrique tout nombre complexe qui est racine d'une équation algébrique à coefficients rationnels : ainsi 2, racine de l'équation x2 − 2 = 0, ou bien i, racine de l'équation x2 + 1 = 0, ou encore e2iπ/n, racine de xn − 1 = 0, sont des nombres algébriques ; au contraire e, π, log 2 ou ii ne sont pas des nombres algébriques (cf. […] Lire la suite

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