Transformation d'un polyèdre en son symétrique

Transformation d'un polyèdre en son symétrique

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Tout polyèdre peut être transformé par dissection polyédrique en son symétrique. Par découpage des polyèdres en tétraèdres, on voit qu'il suffit de prouver que deux tétraèdres symétriques l'un de l'autre peuvent être transformés l'un en l'autre par dissection. La méthode consiste à adapter la construction indiquée en (a) pour transformer un triangle quelconque en son symétrique en déplaçant les pièces du premier . sans les retourner . pour recomposer le second.
On inscrit une sphère dans le tétraèdre, ce qui donne quatre points de tangences sur les faces du tétraèdre, servant de base avec le centre de la sphère inscrite pour un découpage en six morceaux. Chacune des pièces obtenues possède un plan de symétrie qui passe par le point correspondant au centre de la sphère inscrite, et le côté de la pièce qui provient du tétraèdre original. Les pièces qu'on obtiendrait en opérant de la même façon à partir du tétraèdre symétrique sont donc les mêmes, et on peut donc passer de l'un à l'autre par ce découpage en six morceaux.