Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien : Deux polygones de même aire peuvent être transformés l'un en l'autre par dissection polygonale.
Démonstration
Pour transformer deux polygones de même aire l'un en l'autre par dissection polygonale, suivre les instructions suivantes.
- (1) Découper le premier polygone en triangles.
- (2) Transformer chaque triangle en un rectangle (ce découpage s'applique à tout triangle, car dans tout triangle au moins l'une des hauteurs coupe le côté opposé).
- (3) Transformer les rectangles ayant une longueur supérieure à quatre fois la largeur en rectangles ayant une longueur inférieure à quatre fois la largeur.
- (4) Transformer chaque rectangle en carré (cette construction ne fonctionne que si la longueur est inférieure à quatre fois la largeur, d'où la nécessité de l'étape 3).
- (5) Fusionner les carrés, deux par deux, progressivement, jusqu'à avoir un unique grand carré.
- (6) Opérer de la même façon pour le second polygone.
- (7) Superposer les découpages intervenus pour transformer le polygone 1 en carré à ceux obtenus pour transformer le polygone 2 en carré. Par construction, les pièces résultantes permettent de reconstituer le polygone 1 et le polygone 2.