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VIBRATIONS MÉCANIQUES

Équations du mouvement d'un ensemble mécanique à n paramètres

On va limiter l'étude d'un ensemble mécanique à n paramètres aux cas où les n paramètres q1, ..., qn situant l'ensemble (D) sont indépendants et solutions du système différentiel de Lagrange à n équations (cf. mécanique analytique, chap. 1) :

L'énergie cinétique galiléenne T de l'ensemble mécanique (D) est une fonction quadratique homogène des dérivées (q′1, ..., q′n) des variables (q1, ..., qn) par rapport au temps t :

dont les coefficients Akl sont des fonctions de (q1, ..., qn), ce qu'on exprime symboliquement par Akl (q).

Les fonctions Qi sont des fonctions connues pour chaque cas et dépendent très généralement de (q1, ..., qn), de (q′1, ..., q′n) et de t, et on les écrit :

soit symboliquement Qi(q, q′|t ). Dans ces conditions, la i-ième équation de Lagrange s'explicite ainsi :
c'est-à-dire, en utilisant la convention d'Einstein,
avec :

Deux circonstances sont particulièrement considérées dans les applications.

1. Le système différentiel admet la solution :

c'est-à-dire que l'ensemble mécanique étudié peut garder une configuration invariable au cours du temps : on dit alors que l'ensemble est en équilibre dans un galiléen. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire que les n équations suivantes soient satisfaites quel que soit t ; on écrit la i-ième de ces équations :
ce qui exige que t ne figure explicitement dans aucune des expressions des fonctions Qi. S'il en est ainsi, le système :
constitue le système des équations d'équilibre de (D) et permet de déterminer un ou plusieurs ensembles de valeurs (e1, ..., en) dont chacun caractérise une configuration d'équilibre possible. La question est de savoir si cet équilibre est stable. S'il en est ainsi, l'étude des fonctions de t :
est dite étude des petits mouvements au voisinage d'une position d'équilibre stable, ou vibrations, de l'ensemble mécanique (D).

Ce problème est généralement difficile à justifier par une théorie mathématique rigoureuse. C'est pourquoi on lui substitue, par définition, l'étude du système linéaire (d'oscillateurs associés) défini par :

où symboliquement :
est le développement limité au premier ordre de la fonction Qi par rapport à l'ensemble de ses variables εk, ε′k. On pose :

On remarque que l'on a aik = aki et que, par conséquent, la matrice carrée (a) d'élément général aik est symétrique ; mais, comme :

la matrice (b) d'élément général bik et la matrice (c) d'élément général cik ne sont pas symétriques en général.

La i-ième équation du système d'oscillateurs associés s'écrit donc, en vertu de ces notations :

et l'on peut exprimer le système, pour les vibrations libres, sous forme matricielle :
où (ε), (ε)′ et (ε)″ sont des matrices colonnes.

Il arrive que, sans être indépendants de t, les Qi se présentent sous la forme :

le système différentiel régissant les vibrations des oscillateurs associés s'écrit, pour les vibrations forcées, dans ce cas :
où la matrice (Φ) est une matrice colonne fonction du temps.

2. Le système différentiel admet la solution :

les Ω étant des constantes ; c'est-à-dire que, parmi les paramètres de configuration de l'ensemble mécanique, certains restent constants (par exemple les k premiers, pour fixer les idées), tous les autres sont des fonctions du premier degré du temps : i = k + 1, ..., n et qi = Ωit + αi (fonctions à dérivées constantes). On dit alors que l'ensemble mécanique est dans un état stationnaire. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire que les n équations suivantes soient satisfaites quel que soit t ; on écrit la i-ième de ces identités :

On obtient ainsi n identités par rapport[...]

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Écrit par

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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