VIBRATIONS MÉCANIQUES

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Équations du mouvement d'un ensemble mécanique à n paramètres

On va limiter l'étude d'un ensemble mécanique à n paramètres aux cas où les n paramètres q1, ..., qn situant l'ensemble (D) sont indépendants et solutions du système différentiel de Lagrange à n équations (cf. mécanique analytique, chap. 1) :

L'énergie cinétique galiléenne T de l'ensemble mécanique (D) est une fonction quadratique homogène des dérivées (q1, ..., qn) des variables (q1, ..., qn) par rapport au temps t :

dont les coefficients Akl sont des fonctions de (q1, ..., qn), ce qu'on exprime symboliquement par Akl (q).

Les fonctions Qi sont des fonctions connues pour chaque cas et dépendent très généralement de (q1, ..., qn), de (q1, ..., qn) et de t, et on les écrit :

soit symboliquement Qi(qq′|). Dans ces conditions, la i-ième équation de Lagrange s'explicite ainsi :
c'est-à-dire, en utilisant la convention d'Einstein,
avec :

Deux circonstances sont particulièrement considérées dans les applications.

1. Le système différentiel admet la solution :

c'est-à-dire que l'ensemble mécanique étudié peut garder une configuration invariable au cours du temps : on dit alors que l'ensemble est en équilibre dans un galiléen. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire que les n équations suivantes soient satisfaites quel que soit t ; on écrit la i-ième de ces équations :
ce qui exige que t ne figure explicitement dans aucune des expressions des fonctions Qi. S'il en est ainsi, le système :
constitue le système des équations d'équilibre de (D) et permet de déterminer un ou plusieurs ensembles de valeurs (e1, ..., en) dont chacun caractérise une configuration d'équilibre possible. La question est de savoir si cet équilibre est stable. S'il en est ainsi, l'étude des fonctions de t :
est dite étude des petits mouvements au voisinage d'une position d'équilibre stable, ou vibrations, de l'ensemble mécanique (D).

Ce problème est généralement difficile à justifier par une théorie mathématique rigoureuse. C'est pourquoi on lui substitue, par définition, l'étude du système linéaire (d'oscillateurs associés) défini par :

où sy [...]

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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, « VIBRATIONS MÉCANIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 28 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/vibrations-mecaniques/