VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis
Courbure
Considérons une variété V munie d'une connexion ∇ et une courbe γ tracée sur V ; si m est un point de γ et si l'on transporte le long de γ un vecteur t tangent à V en m, après un tour complet on obtient un vecteur ϕ(t ) tangent à V en m. On définit ainsi une application linéaire ϕ de T(V)m dans lui-même. Les exemples donnés au chapitre 7 montrent que ϕ n'est pas en général l'application identique. Si l'on observe ce qui se passe pour les surfaces, on voit que, pour le plan, ϕ est toujours l'identité, mais que, pour les surfaces suffisamment « tordues » comme la sphère, ϕ n'est pas l'identité. C'est pourquoi l'on a donné le nom de tenseur de courbure au tenseur qui « mesure » pourquoi ϕ n'est pas l'identité. On a écrit ci-dessus (cf. la dernière formule de Les connexions linéaires) l'expression qui permet de calculer ce tenseur.
Donnons-nous une surface paramétrée régulière passant par le point m de V ; elle est définie par une application θ : U → V, où U est un ouvert de R2. On suppose que m = θ(0) et on considère le bord Γ du carré :

L'ensemble θ(Γ) est une courbe fermée qui passe par m. Notons ϕx,y l'application linéaire de T(V)m dans lui-même qui correspond à θ(Γ). Si x et y tendent vers zéro, ϕx,y tend vers l'identité. Le tenseur de courbure donne la limite de :

On utilise aussi des formes simplifiées du tenseur de courbure, comme la courbure sectionnelle, la courbure de Ricci et la courbure scalaire.
1
2
3
4
5
…
pour nos abonnés,
l’article se compose de 15 pages
Écrit par :
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
Classification
Autres références
« VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES » est également traité dans :
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables
Dans le chapitre « Le théorème des fonctions implicites et ses variantes » : […] Étant donné deux domaines Ω ⊂ E (resp. Ω 1 ⊂ E 1 ), rappelons qu'une application f de Ω sur Ω 1 est un homéomorphisme si f est bijective, continue ainsi que l'application réciproque f -1 . Un homéomorphisme peut être de classe C m mais on dit que c'est un difféomorphisme (de classe C m ) si l'application réciproque f -1 est également de classe C m (et l'on montre qu'il suffit pour cela que f - […] Lire la suite
COSMOLOGIE
Dans le chapitre « L'Univers de la relativité générale » : […] La relativité générale joue un rôle encore plus fondamental que la relativité restreinte, car elle permet de concevoir une géométrie propre de l'Univers. Dans la physique non relativiste, la géométrie est très simple (elle est dite euclidienne : c'est celle que nous apprenons à l'école, où les parallèles existent et ne se rencontrent jamais, où l'on ne revient jamais à son point de départ en alla […] Lire la suite
DONALDSON SIMON KIRWAN (1957- )
Mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1986. Né le 20 août 1957 à Cambridge (Grande-Bretagne), Simon Kirwan Donaldson fait ses études supérieures au Pembroke College de Cambridge et au Worcester College d'Oxford où il soutient sa thèse de doctorat en 1983. Il occupe ensuite divers postes de recherche et d'enseignement à l'université d'Oxford jusqu'en 1997, date à laquelle il e […] Lire la suite
ESPACE, mathématique
Dans le chapitre « Le paradigme riemannien » : […] Un autre point de vue sur la géométrie apparaît au milieu du xvii e siècle, lorsque René Descartes remarque que la position des points de l'espace euclidien peut être décrite par la donnée de trois nombres, ses coordonnées cartésiennes, qui indiquent la position de ses projections sur trois droites orthogonales. Ainsi, des objets géométriques – droites ou ellipses, mais aussi courbes plus généra […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes
Dans le chapitre « Variétés et espaces analytiques » : […] Un des sommets de la théorie des fonctions d'une variable complexe est l'étude des surfaces de Riemann et leur uniformisation par les fonctions automorphes de Klein-Poincaré. Les fonctions automorphes de plusieurs variables relèvent plus naturellement de la théorie des groupes de Lie (cf. groupes – Groupes de Lie) tandis que les surfaces de Riemann trouvent leur extension dans les notions de var […] Lire la suite
GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE
Dans le chapitre « Surfaces régulières » : […] On appellera surface régulière de classe C k , k ≥ 1, de l'espace euclidien E 3 un sous-ensemble S ⊂ E 3 possédant la propriété suivante : Tout point de S est centre d'une boule ouverte B de E 3 telle qu'il existe une application ϕ de classe C k d'un ouvert U de R 2 dans E 3 : de rang 2 en tout point de U, qui soit un homéomorphisme de U sur S ∩ B. Si ϕ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ), où ϕ 1 , ϕ 2 e […] Lire la suite
INVARIANT, mathématique
Dans le chapitre « Invariants en topologie et en géométrie » : […] En topologie algébrique, on associe à un espace topologique ou à une application continue entre deux espaces topologiques des invariants par déformation continue. Ces invariants sont de nature algébrique et on exploite pour les étudier toutes les ressources de l'algèbre abstraite, d'où le nom de topologie algébrique . La notion précise de déformation s'appelle homotopie . Pour cette notion, un cer […] Lire la suite
MORSE HAROLD CALVIN MARSTON (1892-1977)
Mathématicien américain, né à Waterville (Massachusetts), Marston Morse était parent de Samuel F. Morse, l'inventeur du télégraphe. Il fit ses études supérieures à Harvard, où il fut l'élève de G. D. Birkhoff. Après quelques années aux universités Cornell (Ithaca, New York) et Brown (Providence, Rhode Island.), il revint à Harvard où il enseigna à partir de 1926, jusqu'à la création de l'Institute […] Lire la suite
NOVIKOV SERGUEÏ PETROVITCH (1938- )
Mathématicien russe, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en topologie. Né le 20 mars 1938 à Gorki (Russie), Sergueï Novikov fait ses études à l'université d'État de Moscou puis à l'Institut de mathématiques Steklov (Moscou), où il soutient sa thèse de doctorat en 1964. Professeur à l'université de Moscou dès 1964, il dirige à partir de 1975 le département de mathématiques de l'i […] Lire la suite
POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE
Dans le chapitre « Vers la géométrie symplectique » : […] Dans le formalisme de la mécanique lagrangienne (cf. mécanique analytique ), les solutions des systèmes mécaniques classiques sont données par les équations de Lagrange (2) , où la fonction L (le « lagrangien ») est fonction des variables q 1 , ..., q n qui déterminent la position du système, des variables q̇ 1 , ..., q̇ n qui sont les vitesses et, éventuellement, du temps t ; i varie de […] Lire la suite
Voir aussi
Pour citer l’article
Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/