VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Courbure

Considérons une variété V munie d'une connexion ∇ et une courbe γ tracée sur V ; si m est un point de γ et si l'on transporte le long de γ un vecteur t tangent à V en m, après un tour complet on obtient un vecteur ϕ(t ) tangent à V en m. On définit ainsi une application linéaire ϕ de T(V)_m dans lui-même. Les exemples donnés au chapitre 7 montrent que ϕ n'est pas en général l'application identique. Si l'on observe ce qui se passe pour les surfaces, on voit que, pour le plan, ϕ est toujours l'identité, mais que, pour les surfaces suffisamment « tordues » comme la sphère, ϕ n'est pas l'identité. C'est pourquoi l'on a donné le nom de tenseur de courbure au tenseur qui « mesure » pourquoi ϕ n'est pas l'identité. On a écrit ci-dessus (cf. la dernière formule de Les connexions linéaires) l'expression qui permet de calculer ce tenseur.

Donnons-nous une surface paramétrée régulière passant par le point m de V ; elle est définie par une application θ : U → V, où U est un ouvert de R². On suppose que m = θ(0) et on considère le bord Γ du carré :

L'ensemble θ(Γ) est une courbe fermée qui passe par m. Notons ϕ_x,y l'application linéaire de T(V)_m dans lui-même qui correspond à θ(Γ). Si x et y tendent vers zéro, ϕ_x,y tend vers l'identité. Le tenseur de courbure donne la limite de :

quand x et y tendent vers zéro, en désignant par I l'application identique.

On utilise aussi des formes simplifiées du tenseur de courbure, comme la courbure sectionnelle, la courbure de Ricci et la courbure scalaire.

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