VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

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Connexions

Les connexions linéaires

Quel que soit le point M de En, l'espace T(En)M est identifié de manière naturelle à T(En)0 = Rn ; il en résulte que, si l'on a choisi une base B0 de Rn, tous les espaces tangents à En sont munis d'une base naturelle BM. On peut se demander si, pour toute variété V, on peut ainsi choisir, pour tout point M de V, une base BM de T(V)M, qui « varie continûment avec M ». Un tel choix est possible localement : il suffit de se donner une carte locale ; mais il ne l'est pas toujours sur toute la variété. En utilisant les notations de l'article topologie - Topologie algébrique, au chapitre 4, on voit que ce choix est possible si et seulement si le fibré tangent T(V) est trivial, ce qui n'est pas le cas pour S2, pour P2(R) ni pour P3(R). À défaut d'une telle famille de bases, on va chercher un processus qui permette de faire varier une base continûment le long de n'importe quelle courbe différentiable tracée sur la variété. Un tel processus est donné par une connexion linéaire.

Une connexion linéaire est la donnée, pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs de classe C∞, d'un champ de vecteurs ∇X Y de classe C∞ de façon que les deux propriétés suivantes soient vérifiées :

X, X′, Y et Y′ étant des champs de classe C∞ et f une fonction de classe C∞ quelconques.

La connexion linéaire ∇ étant donnée sur la variété V, considérons une courbe régulière :

et, pour tout ∈ [α, β], un vecteur Y() tangent à V en γ() ; on suppose bien sûr que Y(t ) varie de façon C∞ par rapport à t. Soit, d'autre part, X∼ et Y∼ des champs de vecteurs tels que, pour tout t, on ait X∼(γ()) = X∼′() et Y∼(γ()) = Y(). Alors la restriction de ∇ Y∼ à la courbe ne dépend pas du choix de X∼ et Y∼, mais seulement de Y et de la courbe ; par abus de langage, on la note ∇γ′(t)Y. Si ∇γ′(t)Y est identiquement nul, on dit que le vecteur Y() se transporte de façon équipollente le long de γ. Étant donné un vecteur y tangent à V en γ(α), il existe une famille Y() et une seule qui se transporte de façon équipollente le long de γ et telle que Y(α) = y. Si l'on a dim V = n


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Pour citer l’article

Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 mai 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/