VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
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Variétés riemanniennes
Structures riemanniennes
Une structure riemannienne sur une variété V est la donnée d'une structure euclidienne sur chacun de ses espaces tangents. Donc, sur une variété riemannienne, si t et t′ sont deux vecteurs tangents au même point m, on peut parler de leur produit scalaire, de leurs longueurs et de leur angle. Bien entendu, pour qu'une telle donnée soit utilisable, il faut que, pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs de classe
Il en résulte qu'une structure riemannienne est donnée par un tenseur τ de type (2, 0) symétrique (c'est-à-dire un tenseur tel que τ(X, Y) = τ(Y, X)) qui vérifie les deux conditions suivantes :
1. Pour tout champ X, on a τ(X, X) ≥ 0,
2. L'égalité τ(X, X)(m) = 0 équivaut à X(m) = 0.
Plus généralement, on peut considérer sur une variété V un tenseur τ de type (2, 0) symétrique tel que, pour tout point m de V, l'application τm soit une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur l'espace tangent en m à V ; un tel tenseur est appelé une structure pseudo-riemannienne sur V. On démontre que la signature de τm est constante sur chaque composante connexe de V.
On sait que chacun des espaces tangents à En est, de manière naturelle, identifié à Rn. Il en résulte que, si l'on choisit un produit scalaire sur Rn, alors E, est muni d'une structure riemannienne ; en général, on prendra sur Rn le produit scalaire :

On va voir que les structures riemanniennes permettent de généraliser les constructions classiques (géodésiques, aires, courbure, etc.) que l'on sait faire sur les surfaces de E3.
Les variétés pseudo-riemanniennes ont des propriétés moins simples ; elles sont pourtant d'une grande importance en physique théorique, puisque la mécanique relativiste se définit essentiellement comme l'étude d'une variété pseudo-riemannienne de dimension 4 de signature (+, +, +, −).
Distance géodésique
On appellera courbe de classe


Pour tout couple (A, B) de points de V, notons d(A, B) la borne inférieure des longueurs des courbes de classe
Les géodésiques
Étant donné deux points A et B de la variété riemannienne V, on peut se demander s'il existe une courbe joignant A à B telle que l(γ) = d(A, B). Si γ est une telle courbe et si A′ et B′ sont deux points de γ, l'arc de γ compris entre A′ et B′ a pour longueur d(A′, B′) ; sinon, en recollant les arcs de γ (joignant A à A′ et B à B′) à une courbe γ′ joignant A′ et B′ et qui est plus courte que cet arc, on obtiendrait une courbe joignant A à B de longueur plus petite que d(A, B).
Propriétés d'une courbe de longueur minimum
Crédits : Encyclopædia Universalis France
On voit ainsi que, pour qu'une courbe joignant A à B soit de longueur d(A, B), il faut qu'elle vérifie une certaine condition locale (qui n'est d'ailleurs pas suffisante). Cette condition s'exprime par une équation différentielle du second ordre. Les courbes qui la vérifient sont de classe
On montre que, par deux points A et B s [...]
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Écrit par :
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
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Pour citer l’article
Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/