VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Variétés riemanniennes

Structures riemanniennes

Une structure riemannienne sur une variété V est la donnée d'une structure euclidienne sur chacun de ses espaces tangents. Donc, sur une variété riemannienne, si t et t′ sont deux vecteurs tangents au même point m, on peut parler de leur produit scalaire, de leurs longueurs et de leur angle. Bien entendu, pour qu'une telle donnée soit utilisable, il faut que, pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs de classe C∞, la fonction qui à tout point m associe le produit scalaire de X(m) et de Y(m) soit de classe C∞.

Il en résulte qu'une structure riemannienne est donnée par un tenseur τ de type (2, 0) symétrique (c'est-à-dire un tenseur tel que τ(X, Y) = τ(Y, X)) qui vérifie les deux conditions suivantes :

1. Pour tout champ X, on a τ(X, X) ≥ 0,

2. L'égalité τ(X, X)(m) = 0 équivaut à X(m) = 0.

Plus généralement, on peut considérer sur une variété V un tenseur τ de type (2, 0) symétrique tel que, pour tout point m de V, l'application τ_m soit une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur l'espace tangent en m à V ; un tel tenseur est appelé une structure pseudo-riemannienne sur V. On démontre que la signature de τ_m est constante sur chaque composante connexe de V.

On sait que chacun des espaces tangents à E_n est, de manière naturelle, identifié à Rⁿ. Il en résulte que, si l'on choisit un produit scalaire sur Rⁿ, alors E, est muni d'une structure riemannienne ; en général, on prendra sur Rⁿ le produit scalaire :

ce qui donne ainsi une structure riemannienne naturelle sur E_n. Si maintenant V est une sous-variété de E_n, l'espace tangent à V en m est un sous-espace vectoriel de l'espace tangent à E_n en m et il en résulte qu'il est muni d'une structure euclidienne induite ; donc toute sous-variété de E_n est munie naturellement d'une structure riemannienne. Puisque toute variété qui est réunion dénombrable de compacts est difféomorphe à une sous-variété d'un espace E_n, elle possède au moins une structure riemannienne. Inversement, il n'existe pas toujours sur une variété V une structure pseudo-riemannienne ayant une signature donnée.

On va voir que les structures riemanniennes permettent de généraliser les constructions classiques (géodésiques, aires, courbure, etc.) que l'on sait faire sur les surfaces de E₃.

Les variétés pseudo-riemanniennes ont des propriétés moins simples ; elles sont pourtant d'une grande importance en physique théorique, puisque la mécanique relativiste se définit essentiellement comme l'étude d'une variété pseudo-riemannienne de dimension 4 de signature (+, +, +, −).

Distance géodésique

On appellera courbe de classe C¹ par morceaux tracée sur la variété V une application :

pour laquelle il existe une suite finie a = t₀ < t₁ < ... < t_q = b telle que γ soit de classe C¹ sur chacun des segments [t_i, t_i+1]. Si V est une variété riemannienne, on définit la longueur de la courbe γ comme étant le scalaire positif :où <γ′(t ), γ′(t )> est le carré scalaire du vecteur vitesse de γ à l'instant t. Cette définition généralise la définition classique de la longueur d'une courbe du plan ou de l'espace.

Pour tout couple (A, B) de points de V, notons d(A, B) la borne inférieure des longueurs des courbes de classe C¹ par morceaux qui joignent A à B. Il est évident que d(A, B) ≥ 0, que d(A, B) = d(B, A) et que d(A, B) + d(B, C) ≥ d(A, C) ; on démontre que d(A, B) = 0 équivaut à A = B ; donc d est une distance sur la variété V (cf. espacesmétriques) ; la topologie déduite de cette distance coïncide avec la topologie donnée sur V. Cette distance est appelée la distance géodésique.

Les géodésiques

Étant donné deux points A et B de la variété riemannienne V, on peut se demander s'il existe une courbe joignant A à B telle que l(γ) = d(A, B). Si γ est une telle courbe et si A′ et B′ sont deux points de γ, l'arc de γ compris entre A′ et B′ a pour longueur d(A′, B′) ; sinon, en recollant les arcs de γ (joignant A à A′ et B à B′) à une courbe γ′ joignant A′ et B′ et qui est plus courte que cet arc, on obtiendrait une courbe joignant A à B de longueur plus petite que d(A, B).

On voit ainsi que, pour qu'une courbe joignant A à B soit de longueur d(A, B), il faut qu'elle vérifie une certaine condition locale (qui n'est d'ailleurs pas suffisante). Cette condition s'exprime par une équation différentielle du second ordre. Les courbes qui la vérifient sont de classe C∞ ; on appelle géodésiques de V les courbes maximales qui vérifient cette équation différentielle.

On montre que, par deux points A et B s [...]

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 15 pages

Afficher les 7 médias de l'article