VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Une structure riemannienne sur une variété V est la donnée d'une structure euclidienne sur chacun de ses espaces tangents. Donc, sur une variété riemannienne, si t et t′ sont deux vecteurs tangents au même point m, on peut parler de leur produit scalaire, de leurs longueurs et de leur angle. Bien entendu, pour qu'une telle donnée soit utilisable, il faut que, pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs de classe C∞, la fonction qui à tout point m associe le produit scalaire de X(m) et de Y(m) soit de classe C∞.

Il en résulte qu'une structure riemannienne est donnée par un tenseur τ de type (2, 0) symétrique (c'est-à-dire un tenseur tel que τ(X, Y) = τ(Y, X)) qui vérifie les deux conditions suivantes :

1. Pour tout champ X, on a τ(X, X) ≥ 0,

2. L'égalité τ(X, X)(m) = 0 équivaut à X(m) = 0.

Plus généralement, on peut considérer sur une variété V un tenseur τ de type (2, 0) symétrique tel que, pour tout point m de V, l'application τ_m soit une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur l'espace tangent en m à V ; un tel tenseur est appelé une structure pseudo-riemannienne sur V. On démontre que la signature de τ_m est constante sur chaque composante connexe de V.

On sait que chacun des espaces tangents à E_n est, de manière naturelle, identifié à Rⁿ. Il en résulte que, si l'on choisit un produit scalaire sur Rⁿ, alors E, est muni d'une structure riemannienne ; en général, on prendra sur Rⁿ le produit scalaire :

ce qui donne ainsi une structure riemannienne naturelle sur E_n. Si maintenant V est une sous-variété de E_n, l'espace tangent à V en m est un sous-espace vectoriel de l'espace tangent à E_n en m et il en résulte qu'il est muni d'une structure euclidienne induite ; donc toute sous-variété de E_n est munie naturellement d'une structure riemannienne. Puisque toute variété qui est réunion dénombrable de compacts est difféomorphe à une sous-variété d'un espace E_n, elle possède au moins une structure riemannienne. Inversement, il n'existe pas toujours sur une variété V une structure pseudo-riemannienne ayant une signature donné [...]