VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
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Formes différentielles
Une forme différentielle de degré p est un tenseur de type (0, p) antisymétrique, c'est-à-dire tel que, quels que soient les champs (X1, ..., Xp) et la permutation σ de {1, ..., p}, de signature ε(σ), on ait :

Les formes différentielles de degré 1 sont les formes de degré 1 que l'on vient de définir au chapitre 3. Les formes de degré 2 sont les tenseurs de type (0, 2) tels que l'on ait ω(X, Y) = − ω(Y, X). Les formes de degré p constituent un module sur l'anneau C∞ ; on le notera ∧p. On peut aussi considérer les formes différentielles de degré p comme les sections de classe
Produit extérieur
Le produit extérieur de la forme ω de degré p et de la forme ω′ de degré q est, par définition, la forme de degré p + q :

On sait que toute carte (U, ϕ) de la variété V de dimension n donne une base dx1, ..., dxn du module ∧1(ϕ(U)) des formes différentielles de degré 1 définies sur ϕ(U). Pour p > 1, les formes de degré p qui s'écrivent :


Si f : W → V est une application de classe



Intégration des formes différentielles
Soit X une sous-variété compacte à bord de dimension n d'une variété V de dimension n (il se peut que le bord de X soit vide et même que X = V). Considérons une carte (U, ϕ) de V telle que :




Si V est orientée au voisinage de K, on peut décider de n'employer que des cartes compatibles avec cette orientation ; alors la quantité :

Soit maintenant une forme quelconque ω de degré n sur V et soit (Ui, ϕi), avec i ∈ I, une famille finie de cartes de V dont les images recouvrent X. On peut montrer qu'il existe une famille de fonctions numériques (fi), avec i ∈ I, telle que, pour tout i, la fonction fi soit nulle en dehors d'un compact Ki contenu dans ϕi(Ui) et que, pour tout point M de X, on ait :



Formules de Stokes
À toute forme ω de degré p on associe une forme dω, de telle façon que l'on ait :

La forme dω est appelée la dérivée extérieure de ω ; il est clair que, si, au-dessus de ϕ(U), on a :


On voit que le degré de dω est supérieur d'une unité à celui de ω.
Pour toute sous-variété Y orientée de la variété V et pour toute forme ω sur V dont le degré est égal à la dimension de Y, l'intégrale :


Le signe des deux membres de cette égalité dépend des orientations choisies sur Y et dY ; elle ne peut donc être vraie que si [...]
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Écrit par :
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
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Pour citer l’article
Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/