VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Formes différentielles

Une forme différentielle de degré p est un tenseur de type (0, p) antisymétrique, c'est-à-dire tel que, quels que soient les champs (X₁, ..., X_p) et la permutation σ de {1, ..., p}, de signature ε(σ), on ait :

Les formes différentielles de degré 1 sont les formes de degré 1 que l'on vient de définir au chapitre 3. Les formes de degré 2 sont les tenseurs de type (0, 2) tels que l'on ait ω(X, Y) = − ω(Y, X). Les formes de degré p constituent un module sur l'anneau C∞ ; on le notera ∧^p. On peut aussi considérer les formes différentielles de degré p comme les sections de classe C∞ d'un fibré dont la fibre en m est la composante de degré p de l'algèbre extérieure du dual de l'espace tangent en m (cf. algèbrelinéaire, chap. 6). On en déduit que, pour p supérieur à la dimension de la variété, toute forme différentielle de degré p est nulle.

Produit extérieur

Le produit extérieur de la forme ω de degré p et de la forme ω′ de degré q est, par définition, la forme de degré p + q :

où la sommation est effectuée sur toutes les permutations σ des entiers {1, 2, ..., p + q}.

On sait que toute carte (U, ϕ) de la variété V de dimension n donne une base dx₁, ..., dx_n du module ∧¹(ϕ(U)) des formes différentielles de degré 1 définies sur ϕ(U). Pour p > 1, les formes de degré p qui s'écrivent :

avec 1 ≤ i₁ < i₂ < ... < i_p ≤ n, constituent une base du module ∧^p(ϕ(U)) des formes différentielles de degré p définies sur ϕ(U) ; donc toute forme différentielle ω de degré p définie sur ϕ(U) s'écrit :où les a_i sont des fonctions de classe C∞, la sommation étant faite sur l'ensemble des multi-indices i = (i₁, ..., i_p) tels que 1 ≤ i₁ < ... < i_p ≤ n.

Si f : W → V est une application de classe C∞, à la forme :

définie sur ϕ(U) on associe la forme :où F_i est la i-ième fonction coordonnée de l'application composée :on dit que f *(ω) est l'image inverse de ω par f.

Intégration des formes différentielles

Soit X une sous-variété compacte à bord de dimension n d'une variété V de dimension n (il se peut que le bord de X soit vide et même que X = V). Considérons une carte (U, ϕ) de V telle que :

et une forme ω de degré n sur V, qui est nulle en dehors d'un compact K contenu dans ϕ(U). La forme ω s'écrit :si (U′, ϕ′) est une autre carte telle que ϕ′(U′) contienne K, la forme ω s'écrit également :on voit facilement que, pour tout point M de K, α′(M) est le produit de α(M) par le déterminant de la différentielle de ϕ^-1 ∘ ϕ′ au point ϕ′⁻¹(M). Il en résulte que l'on a :  c'est-à-dire que ces intégrales n-ièmes sont égales au signe près. Plus précisément, si K est connexe, le signe du déterminant de la différentielle de ϕ^-1 ∘ ϕ′ est constant sur K ; s'il est positif, les deux intégrales sont égales et, s'il est négatif, elles sont opposées.

Si V est orientée au voisinage de K, on peut décider de n'employer que des cartes compatibles avec cette orientation ; alors la quantité :

est indépendante de la carte choisie ; on l'appelle l'intégrale de ω sur X et on utilise la notation ∫Xω.

Soit maintenant une forme quelconque ω de degré n sur V et soit (U_i, ϕ_i), avec i ∈ I, une famille finie de cartes de V dont les images recouvrent X. On peut montrer qu'il existe une famille de fonctions numériques (f_i), avec i ∈ I, telle que, pour tout i, la fonction f_i soit nulle en dehors d'un compact K_i contenu dans ϕ_i(U_i) et que, pour tout point M de X, on ait :

une telle famille de fonctions est appelée une partition de l'unité au-dessus de X, relative au recouvrement (ϕ_i(U_i)), avec i ∈ I. Pour tout i, on a déjà défini :puisque f_iω est nulle en dehors de K_i ; on pose alors :ce qui définit l'intégrale sur X de la forme ω.

Formules de Stokes

À toute forme ω de degré p on associe une forme dω, de telle façon que l'on ait :

La forme dω est appelée la dérivée extérieure de ω ; il est clair que, si, au-dessus de ϕ(U), on a :

alors on a :

On voit que le degré de dω est supérieur d'une unité à celui de ω.

Pour toute sous-variété Y orientée de la variété V et pour toute forme ω sur V dont le degré est égal à la dimension de Y, l'intégrale :

où i est l'injection de Y dans V et i*(ω) l'image directe de ω par i, est appelée l'intégrale de ω sur Y. La formule de Stokes s'écrit alors de la façon suivante : soit Y une sous-variété orientée de dimension p de V et soit dY le bord de Y ; pour toute forme ω de degré p − 1 sur V, on a :

Le signe des deux membres de cette égalité dépend des orientations choisies sur Y et dY ; elle ne peut donc être vraie que si [...]

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