VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Une forme différentielle de degré p est un tenseur de type (0, p) antisymétrique, c'est-à-dire tel que, quels que soient les champs (X₁, ..., X_p) et la permutation σ de {1, ..., p}, de signature ε(σ), on ait :

Les formes différentielles de degré 1 sont les formes de degré 1 que l'on vient de définir au chapitre 3. Les formes de degré 2 sont les tenseurs de type (0, 2) tels que l'on ait ω(X, Y) = − ω(Y, X). Les formes de degré p constituent un module sur l'anneau C∞ ; on le notera ∧^p. On peut aussi considérer les formes différentielles de degré p comme les sections de classe C∞ d'un fibré dont la fibre en m est la composante de degré p de l'algèbre extérieure du dual de l'espace tangent en m (cf. algèbrelinéaire, chap. 6). On en déduit que, pour p supérieur à la dimension de la variété, toute forme différentielle de degré p est nulle.

Le produit extérieur de la forme ω de degré p et de la forme ω′ de degré q est, par définition, la forme de degré p + q :

On sait que toute carte (U, ϕ) de la variété V de dimension n donne une base dx₁, ..., dx_n du module ∧¹(ϕ(U)) des formes différentielles de degré 1 définies sur ϕ(U). Pour p > 1, les formes de degré p qui s'écrivent :

Si f : W → V est une application de classe C∞, à la forme :

Soit X une sous-variété compacte à bord de dimension n d'une variété V de dimension n (il se peut que le bord de X soit vide et même que X = V). [...]