VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Dans ce qui suit, pour tout point M de E_n, on considère l'espace vectoriel (E_n)_M des vecteurs d'origine M ; cet espace est isomorphe à Rⁿ. Plus précisément, Rⁿ est l'espace vectoriel des vecteurs ayant pour origine le point O. En associant à tout vecteur d'origine M le vecteur d'origine O qui lui est équipollent, on définit un isomorphisme de (E_n)_M sur (E_n)_O = Rⁿ ; l'image inverse de la base naturelle de Rⁿ par cet isomorphisme définit une base naturelle sur (E_n)_M.

Soit M un point d'une sous-variété V de classe C^k, avec k ≥ 1, et de dimension p de E_n et soit (U₁, ϕ₁) et (U₂, ϕ₂) deux cartes différentiables au voisinage de M ; les différentielles de ϕ₁ au point ϕ₁⁻¹(M) et de ϕ₂ au point ϕ₂⁻¹(M) sont deux applications linéaires de R^p dans Rⁿ qui ont même image, puisqu'elles diffèrent par la différentielle de ϕ₁⁻¹ ∘ ϕ₂ au point ϕ₂⁻¹(M). On dit qu'un vecteur d'origine M dans E_n est tangent à V en M s'il est parallèle à cette image ; les vecteurs tangents à V en M forment un sous-espace vectoriel de dimension p de (E_n)_M, que l'on notera T(V)_M.

Les vecteurs tangents à V en M sont encore les vecteurs vitesse en M des trajectoires tracées sur V et passant par M. Si V est une surface de E₃, on retrouve exactement le plan tangent au sens habituel.

Remarquons enfin que les vecteurs tangents à E_n lui-même au point M sont les vecteurs d'origine M ; donc on a l'égalité T(E_n)_M = (E_n)_M.

Soit X un vecteur tangent à V en M dont on notera X¹, X², ..., Xⁿ les coordonnées dans la base naturelle de (E_n)_M ; soit f une fonction de classe C¹ définie sur un voisinage de M dans V et soit F une fonction de classe C¹ définie sur un voisinage de M dans E_n qui prolonge f. Alors la quantité :

1. Cette dérivée X(f ) ne dépend que du germe de f en M, c'est-à-dire que, si f et g coïncident sur un voisinage de M, alors X(f ) = X(g) ;

2. On a X(kf + g) = [...]