VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Vecteurs tangents

Dans ce qui suit, pour tout point M de E_n, on considère l'espace vectoriel (E_n)_M des vecteurs d'origine M ; cet espace est isomorphe à Rⁿ. Plus précisément, Rⁿ est l'espace vectoriel des vecteurs ayant pour origine le point O. En associant à tout vecteur d'origine M le vecteur d'origine O qui lui est équipollent, on définit un isomorphisme de (E_n)_M sur (E_n)_O = Rⁿ ; l'image inverse de la base naturelle de Rⁿ par cet isomorphisme définit une base naturelle sur (E_n)_M.

Vecteurs tangents à une sous-variété de En

Soit M un point d'une sous-variété V de classe C^k, avec k ≥ 1, et de dimension p de E_n et soit (U₁, ϕ₁) et (U₂, ϕ₂) deux cartes différentiables au voisinage de M ; les différentielles de ϕ₁ au point ϕ₁⁻¹(M) et de ϕ₂ au point ϕ₂⁻¹(M) sont deux applications linéaires de R^p dans Rⁿ qui ont même image, puisqu'elles diffèrent par la différentielle de ϕ₁⁻¹ ∘ ϕ₂ au point ϕ₂⁻¹(M). On dit qu'un vecteur d'origine M dans E_n est tangent à V en M s'il est parallèle à cette image ; les vecteurs tangents à V en M forment un sous-espace vectoriel de dimension p de (E_n)_M, que l'on notera T(V)_M.

Les vecteurs tangents à V en M sont encore les vecteurs vitesse en M des trajectoires tracées sur V et passant par M. Si V est une surface de E₃, on retrouve exactement le plan tangent au sens habituel.

Remarquons enfin que les vecteurs tangents à E_n lui-même au point M sont les vecteurs d'origine M ; donc on a l'égalité T(E_n)_M = (E_n)_M.

Opérateurs de dérivation

Soit X un vecteur tangent à V en M dont on notera X¹, X², ..., Xⁿ les coordonnées dans la base naturelle de (E_n)_M ; soit f une fonction de classe C¹ définie sur un voisinage de M dans V et soit F une fonction de classe C¹ définie sur un voisinage de M dans E_n qui prolonge f. Alors la quantité :

ne dépend pas du choix du prolongement F ; elle ne dépend que de X et de f. On l'appelle la dérivée de f suivant le vecteur X et on la note X(f ). On vérifie facilement que :

1. Cette dérivée X(f ) ne dépend que du germe de f en M, c'est-à-dire que, si f et g coïncident sur un voisinage de M, alors X(f ) = X(g) ;

2. On a X(kf + g) = kX(f ) + X(g) pour toute constante k ;

3. Quelles que soient les fonctions f et g, on a X(fg) = f (M)X(g) + X(f )g(M).

Un opérateur U sur l'ensemble des fonctions de classe C¹ définies au voisinage de M qui vérifie ces trois propriétés est appelé un opérateur de dérivation en M. On démontre que, pour tout opérateur de dérivation U en un point M d'une sous-variété V de classe C² de E_n, il existe un vecteur X tangent à V en M et un seul tel que X(f ) = U(f ) pour toute fonction f de classe C². Par analogie, on définit l'espace tangent en M à une variété abstraite V comme l'ensemble des dérivations en M.

Applications tangentes

Si ϕ : V → W est une application de classe C¹, à toute dérivation X au point M de V on associe une dérivation ϕ_*(X) au point ϕ(M) de W, en posant :

on définit ainsi une application linéaire ϕ_* de T(V)_M dans T(W)_ϕ(M).

Si V = E_n et W = E_q, les espaces T(V)_M et T(W)_ϕ(M) s'identifient à Rⁿ et à R^q et ϕ_* s'identifie à la différentielle de ϕ en M (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables, chap. 2) ; c'est pourquoi ϕ_* est, dans tous les cas, appelée la différentielle de ϕ ou l'application linéaire tangente à ϕ en M. Les théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites impliquent que, si ϕ_* est bijective (resp. injective, surjective), alors ϕ est bijective (resp. injective, surjective) dans un voisinage de M.

Fibré tangent

On suppose dorénavant que V est une sous-variété de classe C∞ et de dimension p de E_n. Soit T(V) la réunion des espaces vectoriels T(V)_M. On définit une injection de T(V) dans V × Rⁿ en associant au vecteur X tangent à V en M le couple formé du point M et du vecteur d'origine O équipollent à X. L'image de cette injection est une sous-variété de classe C∞ et de dimension 2p de V × Rⁿ ; donc T(V) se trouve muni d'une structure de variété de classe C∞ et de dimension 2p. La projection π de T(V) sur V qui à tout vecteur tangent associe son point de contact est de classe C∞. Pour tout point M de V, π⁻¹(V) = T(V)_M est un espace vectoriel isomorphe à R^p ; donc, avec les notations de l'article topologie - Topologie algébrique (chap. 6), l'application :

définit un fibré de base V et de fibre R^p. Pour toute carte (U, ϕ) de V, on définit un difféomorphisme de classe C∞ de U × R^p sur π⁻¹(U), en associant à (u, t ) le vecteur d'origine ϕ(u) qui est équipollent à l'image de t par la différentielle de ϕ en u. Cela nous donne de [...]

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