VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

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Vecteurs tangents

Dans ce qui suit, pour tout point M de En, on considère l'espace vectoriel (En)M des vecteurs d'origine M ; cet espace est isomorphe à Rn. Plus précisément, Rn est l'espace vectoriel des vecteurs ayant pour origine le point O. En associant à tout vecteur d'origine M le vecteur d'origine O qui lui est équipollent, on définit un isomorphisme de (En)M sur (En)O = Rn ; l'image inverse de la base naturelle de Rn par cet isomorphisme définit une base naturelle sur (En)M.

Vecteurs tangents à une sous-variété de En

Soit M un point d'une sous-variété V de classe Ck, avec ≥ 1, et de dimension p de En et soit (U1, ϕ1) et (U2, ϕ2) deux cartes différentiables au voisinage de M ; les différentielles de ϕ1 au point ϕ1−1(M) et de ϕ2 au point ϕ2−1(M) sont deux applications linéaires de Rp dans Rn qui ont même image, puisqu'elles diffèrent par la différentielle de ϕ1−1 ∘ ϕ2 au point ϕ2−1(M). On dit qu'un vecteur d'origine M dans En est tangent à V en M s'il est parallèle à cette image ; les vecteurs tangents à V en M forment un sous-espace vectoriel de dimension p de (En)M, que l'on notera T(V)M.

Les vecteurs tangents à V en M sont encore les vecteurs vitesse en M des trajectoires tracées sur V et passant par M. Si V est une surface de E3, on retrouve exactement le plan tangent au sens habituel.

Remarquons enfin que les vecteurs tangents à En lui-même au point M sont les vecteurs d'origine M ; donc on a l'égalité T(En)M = (En)M.

Opérateurs de dérivation

Soit X un vecteur tangent à V en M dont on notera X1, X2, ..., Xn les coordonnées dans la base naturelle de (En)M ; soit f une fonction de classe C1 définie sur un voisinage de M dans V et soit F une fonction de classe C1 définie sur un voisinage de M dans En qui prolonge f. Alors la quantité :

ne dépend pas du choix du prolongement F ; elle ne dépend que de X et de f. On l'appelle la dérivée de f suivant le vecteur X et on la note X(). On vérifie facilement que :

1. Cette dérivée X() ne dépend que du germe de f en M, c'est-à-dire que, si f et g coïncident sur un voisinage de M, alors X() = X(g) ;

2. On a X(kf + g) = [...]


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Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/