VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
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Vecteurs tangents
Dans ce qui suit, pour tout point M de En, on considère l'espace vectoriel (En)M des vecteurs d'origine M ; cet espace est isomorphe à Rn. Plus précisément, Rn est l'espace vectoriel des vecteurs ayant pour origine le point O. En associant à tout vecteur d'origine M le vecteur d'origine O qui lui est équipollent, on définit un isomorphisme de (En)M sur (En)O = Rn ; l'image inverse de la base naturelle de Rn par cet isomorphisme définit une base naturelle sur (En)M.
Vecteurs tangents à une sous-variété de En
Soit M un point d'une sous-variété V de classe
Les vecteurs tangents à V en M sont encore les vecteurs vitesse en M des trajectoires tracées sur V et passant par M. Si V est une surface de E3, on retrouve exactement le plan tangent au sens habituel.
Remarquons enfin que les vecteurs tangents à En lui-même au point M sont les vecteurs d'origine M ; donc on a l'égalité T(En)M = (En)M.
Opérateurs de dérivation
Soit X un vecteur tangent à V en M dont on notera X1, X2, ..., Xn les coordonnées dans la base naturelle de (En)M ; soit f une fonction de classe

1. Cette dérivée X(f ) ne dépend que du germe de f en M, c'est-à-dire que, si f et g coïncident sur un voisinage de M, alors X(f ) = X(g) ;
2. On a X(kf + g) = kX(f ) + X(g) pour toute constante k ;
3. Quelles que soient les fonctions f et g, on a X(fg) = f (M)X(g) + X(f )g(M).
Un opérateur U sur l'ensemble des fonctions de classe
Applications tangentes
Si ϕ : V → W est une application de classe

Si V = En et W = Eq, les espaces T(V)M et T(W)ϕ(M) s'identifient à Rn et à Rq et ϕ* s'identifie à la différentielle de ϕ en M (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables, chap. 2) ; c'est pourquoi ϕ* est, dans tous les cas, appelée la différentielle de ϕ ou l'application linéaire tangente à ϕ en M. Les théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites impliquent que, si ϕ* est bijective (resp. injective, surjective), alors ϕ est bijective (resp. injective, surjective) dans un voisinage de M.
Fibré tangent
On suppose dorénavant que V est une sous-variété de classe

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l’article se compose de 15 pages
Écrit par :
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
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Pour citer l’article
Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 15 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/