VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
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Notion de variété différentiable
Dans ce qui suit, En désigne l'espace topologique sous-jacent à Rn. Si U est un ouvert de En et Ω un ouvert de Ep, on définit les applications de classe
Sous-variétés de En
La notion de sous-variété de En est une généralisation de la notion de surface introduite dans l'article géométrie différentielle classique. On dit qu'un sous-ensemble localement fermé V de En est une sous-variété de dimension p si, pour tout point x de V, il existe un ouvert U de Ep et une application continue :

Soit f une fonction numérique définie sur un ouvert Ω de la variété V de classe
1. Il existe une fonction numérique F de classe
2. Pour toute carte différentiable (U, ϕ), la fonction numérique f ∘ ϕ définie sur ϕ−1(Ω) est de classe
Une telle fonction f est appelée une fonction de classe
Systèmes de cartes et fonctions différentiables
Dans la condition 2 ci-dessus, le fait que V soit un sous-ensemble de En n'intervient pas. Il doit donc être possible de définir des fonctions différentiables sur un espace topologique quelconque en se donnant un système de cartes ; c'est ce que l'on va faire.
Soit V un espace topologique séparé ; on dira que l'on s'est donné un « système de cartes de dimension p qui est
(C) Pour tout couple (i, j) tel que Vi ∩Vj soit non vide, l'application :

est de classe
Soit f une fonction numérique définie sur un ouvert Ω de V ; on dira que f est de classe
(C′) Quelle que soit la carte (Ui, ϕi) telle que Ui ∩ Ω ≠ ∅, l'application :

est de classe
La condition (C) implique que, si l'on a Ω ⊂ Vi ∩ Vj, l'application f ∘ ϕi est de classe
Structure de variété
Les fonctions numériques de classe
Exemples
Il est clair que tout ouvert de En est muni naturellement d'une structure de variété de dimension n qui peut être définie par une seule carte. Les surfaces régulières telles qu'elles sont définies dans l'article géométrie différentielle classiq [...]
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Écrit par :
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
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Pour citer l’article
Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/