VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

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Notion de variété différentiable

Dans ce qui suit, En désigne l'espace topologique sous-jacent à Rn. Si U est un ouvert de En et Ω un ouvert de Ep, on définit les applications de classe Cr, avec 1 ≤ ≤ + ∞, de U dans Ω (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables). Les fonctions de classe Cr de U dans R forment une R-algèbre.

Sous-variétés de En

La notion de sous-variété de En est une généralisation de la notion de surface introduite dans l'article géométrie différentielle classique. On dit qu'un sous-ensemble localement fermé V de En est une sous-variété de dimension p si, pour tout point x de V, il existe un ouvert U de Ep et une application continue :

qui est un homéomorphisme de U sur un voisinage de x dans V. On dit que V est une sous-variété de classe Ck, avec 1 ≤ ≤ + ∞, si, pour tout point x de V, il existe un tel couple (U, ϕ) où ϕ est une application de classe Ck dont la différentielle, en chaque point de U, est de rang p. Le couple (U, ϕ) est appelé une carte différentiable de la variété. Le théorème des fonctions implicites entraîne que, si (Ui, ϕi) et (Uj, ϕj) sont deux cartes différentiables de la variété de classe Ck, alors ϕj −1 ∘ ϕi réalise un difféomorphisme de classe Ck de l'ouvert ϕi −1j(Uj)) inclus dans Ui sur l'ouvert ϕj −1i(Ui)) inclus dans Uj (cf. géométrie différentielle classique, fig. 6, où il faut remplacer S par V).

Soit f une fonction numérique définie sur un ouvert Ω de la variété V de classe Ck (on suppose que Ω est l'intersection de V et de l'ouvert O de En) et soit ≤ k ; alors, les deux conditions suivantes sont équivalentes.

1. Il existe une fonction numérique F de classe Cr définie sur O telle que f soit la restriction de F à Ω.

2. Pour toute carte différentiable (U, ϕ), la fonction numérique f ∘ ϕ définie sur ϕ−1(Ω) est de classe Cr.

Une telle fonction f est appelée une fonction de classe Cr définie sur l'ouvert Ω de la variété V de classe Ck, avec ≥ r.

Systèmes de cartes et fonctions différentiables

Dans la condition 2 ci-dessus, le fait que V soit un sous-ensemble de En n'intervient pas. Il doit donc être possible de définir des fonctions différentiables sur un espace topologique quelconque en se donnant un système de cartes ; c'est ce que l'on va faire.

Soit V un espace topologique séparé ; on dira que l'on s'est donné un « système de cartes de dimension p qui est Ck-compatible » sur V si l'on s'est donné un recouvrement de V par des ouverts Vi, pour ∈ I, et, pour tout i, un homéomorphisme ϕi d'un ouvert Ui de Ep sur Vi de telle façon que la condition (C) suivante soit vérifiée.

(C) Pour tout couple (ij) tel que V∩Vj soit non vide, l'application :

est de classe Ck.

Soit f une fonction numérique définie sur un ouvert Ω de V ; on dira que f est de classe Cr, pour ≤ k, si cette fonction vérifie la condition (C′) suivante.

(C′) Quelle que soit la carte (Ui, ϕi) telle que U∩ Ω ≠ ∅, l'application :

est de classe Cr.

La condition (C) implique que, si l'on a Ω ⊂ V∩ Vj, l'application ∘ ϕi est de classe Cr si et seulement si ∘ ϕj est de classe Cr. Cela assure que l'ensemble des fonctions de classe Cr au voisinage d'un point x de V a des propriétés analogues à celles de l'ensemble des fonctions de classe Cr au voisinage d'un point de Ep. Si l'on n'avait pas imposé cette condition (C), il n'en serait pas ainsi ; il se pourrait même que les seules fonctions vérifiant la condition (C′) soient les fonctions constantes.

Structure de variété

Les fonctions numériques de classe Cr, avec ≤ k, sur un ouvert Ω de V forment un anneau de fonctions ; notons Cr Ω cet anneau. Pour tout ouvert Ω′ contenu dans Ω, la restriction des fonctions définit un homomorphisme de Cr Ω′ dans Cr Ω. On obtient ainsi un faisceau d'anneaux sur V (cf. topologie - Topologie algébrique, chap. 7). Par définition, une variété de classe Cr et de dimension p est un espace topologique séparé sur lequel sont donnés des faisceaux d'anneaux C1, ..., Ck, qui peuvent être définis par la méthode que l'on vient de décrire. Les cartes ne sont qu'un outil pour définir ces faisceaux de fonctions ; en particulier, deux systèmes de cartes Ck-compatibles qui définissent le même faisceau des fonctions de classe Cr, pour tout ≤ k, sont deux façons de définir la même variété.

Exemples

Il est clair que tout ouvert de En est muni naturellement d'une structure de variété de dimension n qui peut être définie par une seule carte. Les surfaces régulières telles qu'elles sont définies dans l'article géométrie différentielle classiq [...]

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Pour citer l’article

Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/