VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
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Écrit par :
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
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« VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES » est également traité dans :
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables
Dans le chapitre « Le théorème des fonctions implicites et ses variantes » : […] Étant donné deux domaines Ω ⊂ E (resp. Ω 1 ⊂ E 1 ), rappelons qu'une application f de Ω sur Ω 1 est un homéomorphisme si f est bijective, continue ainsi que l'application réciproque f -1 . Un homéomorphisme peut être de classe C m mais on dit que c'est un difféomorphisme (de classe C m ) si l'application réciproque f -1 est également de classe C m (et l'on montre qu'il suffit pour cela que f - […] Lire la suite
COSMOLOGIE
Dans le chapitre « L'Univers de la relativité générale » : […] La relativité générale joue un rôle encore plus fondamental que la relativité restreinte, car elle permet de concevoir une géométrie propre de l'Univers. Dans la physique non relativiste, la géométrie est très simple (elle est dite euclidienne : c'est celle que nous apprenons à l'école, où les parallèles existent et ne se rencontrent jamais, où l'on ne revient jamais à son point de départ en alla […] Lire la suite
DONALDSON SIMON KIRWAN (1957- )
Mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1986. Né le 20 août 1957 à Cambridge (Grande-Bretagne), Simon Kirwan Donaldson fait ses études supérieures au Pembroke College de Cambridge et au Worcester College d'Oxford où il soutient sa thèse de doctorat en 1983. Il occupe ensuite divers postes de recherche et d'enseignement à l'université d'Oxford jusqu'en 1997, date à laquelle il e […] Lire la suite
ESPACE, mathématique
Dans le chapitre « Le paradigme riemannien » : […] Un autre point de vue sur la géométrie apparaît au milieu du xvii e siècle, lorsque René Descartes remarque que la position des points de l'espace euclidien peut être décrite par la donnée de trois nombres, ses coordonnées cartésiennes, qui indiquent la position de ses projections sur trois droites orthogonales. Ainsi, des objets géométriques – droites ou ellipses, mais aussi courbes plus généra […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes
Dans le chapitre « Variétés et espaces analytiques » : […] Un des sommets de la théorie des fonctions d'une variable complexe est l'étude des surfaces de Riemann et leur uniformisation par les fonctions automorphes de Klein-Poincaré. Les fonctions automorphes de plusieurs variables relèvent plus naturellement de la théorie des groupes de Lie (cf. groupes – Groupes de Lie) tandis que les surfaces de Riemann trouvent leur extension dans les notions de var […] Lire la suite
GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE
Dans le chapitre « Surfaces régulières » : […] On appellera surface régulière de classe C k , k ≥ 1, de l'espace euclidien E 3 un sous-ensemble S ⊂ E 3 possédant la propriété suivante : Tout point de S est centre d'une boule ouverte B de E 3 telle qu'il existe une application ϕ de classe C k d'un ouvert U de R 2 dans E 3 : de rang 2 en tout point de U, qui soit un homéomorphisme de U sur S ∩ B. Si ϕ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ), où ϕ 1 , ϕ 2 e […] Lire la suite
INVARIANT, mathématique
Dans le chapitre « Invariants en topologie et en géométrie » : […] En topologie algébrique, on associe à un espace topologique ou à une application continue entre deux espaces topologiques des invariants par déformation continue. Ces invariants sont de nature algébrique et on exploite pour les étudier toutes les ressources de l'algèbre abstraite, d'où le nom de topologie algébrique . La notion précise de déformation s'appelle homotopie . Pour cette notion, un cer […] Lire la suite
MORSE HAROLD CALVIN MARSTON (1892-1977)
Mathématicien américain, né à Waterville (Massachusetts), Marston Morse était parent de Samuel F. Morse, l'inventeur du télégraphe. Il fit ses études supérieures à Harvard, où il fut l'élève de G. D. Birkhoff. Après quelques années aux universités Cornell (Ithaca, New York) et Brown (Providence, Rhode Island.), il revint à Harvard où il enseigna à partir de 1926, jusqu'à la création de l'Institute […] Lire la suite
NOVIKOV SERGUEÏ PETROVITCH (1938- )
Mathématicien russe, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en topologie. Né le 20 mars 1938 à Gorki (Russie), Sergueï Novikov fait ses études à l'université d'État de Moscou puis à l'Institut de mathématiques Steklov (Moscou), où il soutient sa thèse de doctorat en 1964. Professeur à l'université de Moscou dès 1964, il dirige à partir de 1975 le département de mathématiques de l'i […] Lire la suite
POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE
Dans le chapitre « Vers la géométrie symplectique » : […] Dans le formalisme de la mécanique lagrangienne (cf. mécanique analytique ), les solutions des systèmes mécaniques classiques sont données par les équations de Lagrange (2) , où la fonction L (le « lagrangien ») est fonction des variables q 1 , ..., q n qui déterminent la position du système, des variables q̇ 1 , ..., q̇ n qui sont les vitesses et, éventuellement, du temps t ; i varie de […] Lire la suite
PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE
Espace projectif . Étant donné un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, on considère dans E′ = E — {0} la relation G entre deux éléments x et y définie par : La relation G est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient E′/ G est appelé espace projectif déduit de E et est noté P (E). L'ensemble E est appelé espace vectoriel sous-jacent de P (E). Une classe d'équivalence, élément […] Lire la suite
RICCI-CURBASTRO GREGORIO (1853-1925)
Mathématicien italien, né à Lugo (région de Ravenne) et mort à Bologne, créateur du calcul tensoriel (ainsi dénommé par A. Einstein en 1916). Ce « calcul » s'est révélé un outil fondamental dans cette fusion de l'analyse, de la géométrie et de la physique théorique qui caractérise le xx e siècle. Comme l'a dit Albert Einstein, les équations de la gravitation en relativité générale constituent un […] Lire la suite
RIEMANN BERNHARD (1826-1866)
Dans le chapitre « Variétés riemanniennes » : […] Riemann fut déçu quand Gauss choisit, pour la soutenance, la partie non encore rédigée de son mémoire d'habilitation ; c'est à cette déception que nous devons une dissertation philosophique Sur les hypothèses qui servent de base à la géométrie. Dans la première section, intitulée « Notion de grandeur à n dimensions », apparaît l'expression « variété continue » ; mais aucune explication n'est donn […] Lire la suite
SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications
De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maximal, des points où un espace analytique n'est pas lisse, des points où un champ de […] Lire la suite
SMALE STEPHEN (1930- )
Mathématicien américain né le 15 juillet 1930 à Flint (Michigan). Après des études à l'université du Michigan (où il passa son doctorat en 1956), Stephen Smale enseigna à l'université Columbia (1961-1964), puis à Berkeley à partir de 1964. En 1966, il reçut le prix Veblen de l'American Mathematical Society et la médaille Fields au congrès de Moscou. Le premier grand résultat de Smale fut, en 1956, […] Lire la suite
THOM RENÉ (1923-2002)
Mathématicien français, lauréat de la médaille Fields en 1958, René Thom laisse une empreinte profonde sur sa discipline. Père de la « théorie des catastrophes », il a été l'un des premiers mathématiciens à avoir tiré les conséquences philosophiques de la topologie moderne. Si son esprit provocateur a suscité la controverse, il a défriché de nouvelles voies pour la modélisation mathématique et a e […] Lire la suite
TOPOLOGIE - Topologie algébrique
Dans le chapitre « Exemples » : […] 1. Soit p la seconde projection du produit A × X ; le faisceau des sections de p est encore appelé le faisceau des fonctions continues à valeurs dans A. 2. Soit X une variété différentiable et soit p la projection de l'espace tangent à X ; une section, au-dessus de U, du faisceau F associé à p est un champ de vecteurs défini sur U. 3. Les deux exemples précédents sont donnés comme des faiscea […] Lire la suite
WHITEHEAD JOHN HENRY CONSTANTINE (1904-1960)
Né à Madras, neveu du philosophe et logicien Alfred North Whitehead, J. H. C. Whitehead fit ses études à Oxford ; il y rencontra, en 1920, O. Veblen, avec qui il collabora pendant trois ans à Princeton. Whitehead enseigna à l'université d'Oxford de 1932 à 1946 ; il passa ensuite une année à l'Institute for Advanced Study, puis retourna à Oxford de 1947 jusqu'en 1960. Whitehead fut membre de la Roy […] Lire la suite
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Pour citer l’article
Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 août 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/