VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

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Notion de variété différentiable

Dans ce qui suit, En désigne l'espace topologique sous-jacent à Rn. Si U est un ouvert de En et Ω un ouvert de Ep, on définit les applications de classe Cr, avec 1 ≤ ≤ + ∞, de U dans Ω (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables). Les fonctions de classe Cr de U dans R forment une R-algèbre.

Sous-variétés de En

La notion de sous-variété de En est une généralisation de la notion de surface introduite dans l'article géométrie différentielle classique. On dit qu'un sous-ensemble localement fermé V de En est une sous-variété de dimension p si, pour tout point x de V, il existe un ouvert U de Ep et une application continue :

qui est un homéomorphisme de U sur un voisinage de x dans V. On dit que V est une sous-variété de classe Ck, avec 1 ≤ ≤ + ∞, si, pour tout point x de V, il existe un tel couple (U, ϕ) où ϕ est une application de classe Ck dont la différentielle, en chaque point de U, est de rang p. Le couple (U, ϕ) est appelé une carte différentiable de la variété. Le théorème des fonctions implicites entraîne que, si (Ui, ϕi) et (Uj, ϕj) sont deux cartes différentiables de la variété de classe Ck, alors ϕj −1 ∘ ϕi réalise un difféomorphisme de classe Ck de l'ouvert ϕi −1j(Uj)) inclus dans Ui sur l'ouvert ϕj −1i(Ui)) inclus dans Uj (cf. géométrie différentielle classique, fig. 6, où il faut remplacer S par V).

Soit f une fonction numérique définie sur un ouvert Ω de la variété V de classe Ck (on suppose que Ω est l'intersection de V et de l'ouvert O de En) et soit ≤ k ; alors, les deux conditions suivantes sont équivalentes.

1. Il existe une fonction numérique F de classe Cr définie sur O telle que f soit la restriction de F à Ω.

2. Pour toute carte différentiable (U, ϕ), la fonction numérique f ∘ ϕ définie sur ϕ−1(Ω) est de classe Cr.

Une telle fonction f est appelée une fonction de classe Cr définie sur l'ouvert Ω de la variété V de classe Ck, avec ≥ r.

Systèmes de cartes et fonctions différentiables

Dans la condition 2 ci-dessus, le fait que V soit un sous-ensemble de En n'intervient pas. Il doit donc être possible [...]


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Pour citer l’article

Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/