VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Notion de variété différentiable

Dans ce qui suit, E_n désigne l'espace topologique sous-jacent à Rⁿ. Si U est un ouvert de E_n et Ω un ouvert de E_p, on définit les applications de classe C^r, avec 1 ≤ r ≤ + ∞, de U dans Ω (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables). Les fonctions de classe C^r de U dans R forment une R-algèbre.

Sous-variétés de En

La notion de sous-variété de E_n est une généralisation de la notion de surface introduite dans l'article géométrie différentielle classique. On dit qu'un sous-ensemble localement fermé V de E_n est une sous-variété de dimension p si, pour tout point x de V, il existe un ouvert U de E_p et une application continue :

qui est un homéomorphisme de U sur un voisinage de x dans V. On dit que V est une sous-variété de classe C^k, avec 1 ≤ k ≤ + ∞, si, pour tout point x de V, il existe un tel couple (U, ϕ) où ϕ est une application de classe C^k dont la différentielle, en chaque point de U, est de rang p. Le couple (U, ϕ) est appelé une carte différentiable de la variété. Le théorème des fonctions implicites entraîne que, si (U_i, ϕ_i) et (U_j, ϕ_j) sont deux cartes différentiables de la variété de classe C^k, alors ϕ_j ⁻¹ ∘ ϕ_i réalise un difféomorphisme de classe C^k de l'ouvert ϕ_i ⁻¹(ϕ_j(U_j)) inclus dans U_i sur l'ouvert ϕ_j ⁻¹(ϕ_i(U_i)) inclus dans U_j (cf. géométrie différentielle classique, fig. 6, où il faut remplacer S par V).

Soit f une fonction numérique définie sur un ouvert Ω de la variété V de classe C^k (on suppose que Ω est l'intersection de V et de l'ouvert O de E_n) et soit r ≤ k ; alors, les deux conditions suivantes sont équivalentes.

1. Il existe une fonction numérique F de classe C^r définie sur O telle que f soit la restriction de F à Ω.

2. Pour toute carte différentiable (U, ϕ), la fonction numérique f ∘ ϕ définie sur ϕ⁻¹(Ω) est de classe C^r.

Une telle fonction f est appelée une fonction de classe C^r définie sur l'ouvert Ω de la variété V de classe C^k, avec k ≥ r.

Systèmes de cartes et fonctions différentiables

Dans la condition 2 ci-dessus, le fait que V soit un sous-ensemble de E_n n'intervient pas. Il doit donc être possible de définir des fonctions différentiables sur un espace topologique quelconque en se donnant un système de cartes ; c'est ce que l'on va faire.

Soit V un espace topologique séparé ; on dira que l'on s'est donné un « système de cartes de dimension p qui est C^k-compatible » sur V si l'on s'est donné un recouvrement de V par des ouverts V_i, pour i ∈ I, et, pour tout i, un homéomorphisme ϕ_i d'un ouvert U_i de E_p sur V_i de telle façon que la condition (C) suivante soit vérifiée.

(C) Pour tout couple (i, j) tel que V_i ∩V_j soit non vide, l'application :

est de classe C^k.

Soit f une fonction numérique définie sur un ouvert Ω de V ; on dira que f est de classe C^r, pour r ≤ k, si cette fonction vérifie la condition (C′) suivante.

(C′) Quelle que soit la carte (U_i, ϕ_i) telle que U_i ∩ Ω ≠ ∅, l'application :

est de classe C^r.

La condition (C) implique que, si l'on a Ω ⊂ V_i ∩ V_j, l'application f ∘ ϕ_i est de classe C^r si et seulement si f ∘ ϕ_j est de classe C^r. Cela assure que l'ensemble des fonctions de classe C^r au voisinage d'un point x de V a des propriétés analogues à celles de l'ensemble des fonctions de classe C^r au voisinage d'un point de E_p. Si l'on n'avait pas imposé cette condition (C), il n'en serait pas ainsi ; il se pourrait même que les seules fonctions vérifiant la condition (C′) soient les fonctions constantes.

Structure de variété

Les fonctions numériques de classe C^r, avec r ≤ k, sur un ouvert Ω de V forment un anneau de fonctions ; notons C^r _Ω cet anneau. Pour tout ouvert Ω′ contenu dans Ω, la restriction des fonctions définit un homomorphisme de C^r _Ω′ dans C^r _Ω. On obtient ainsi un faisceau d'anneaux sur V (cf. topologie - Topologie algébrique, chap. 7). Par définition, une variété de classe C^r et de dimension p est un espace topologique séparé sur lequel sont donnés des faisceaux d'anneaux C¹, ..., C^k, qui peuvent être définis par la méthode que l'on vient de décrire. Les cartes ne sont qu'un outil pour définir ces faisceaux de fonctions ; en particulier, deux systèmes de cartes C^k-compatibles qui définissent le même faisceau des fonctions de classe C^r, pour tout r ≤ k, sont deux façons de définir la même variété.

Exemples

Il est clair que tout ouvert de E_n est muni naturellement d'une structure de variété de dimension n qui peut être définie par une seule carte. Les surfaces régulières telles qu'elles sont définies dans l'article géométrie différentielle classiq [...]

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