VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Notion de variété différentiable

Dans ce qui suit, E_n désigne l'espace topologique sous-jacent à Rⁿ. Si U est un ouvert de E_n et Ω un ouvert de E_p, on définit les applications de classe C^r, avec 1 ≤ r ≤ + ∞, de U dans Ω (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables). Les fonctions de classe C^r de U dans R forment une R-algèbre.

Sous-variétés de En

La notion de sous-variété de E_n est une généralisation de la notion de surface introduite dans l'article géométrie différentielle classique. On dit qu'un sous-ensemble localement fermé V de E_n est une sous-variété de dimension p si, pour tout point x de V, il existe un ouvert U de E_p et une application continue :

qui est un homéomorphisme de U sur un voisinage de x dans V. On dit que V est une sous-variété de classe C^k, avec 1 ≤ k ≤ + ∞, si, pour tout point x de V, il existe un tel couple (U, ϕ) où ϕ est une application de classe C^k dont la différentielle, en chaque point de U, est de rang p. Le couple (U, ϕ) est appelé une carte différentiable de la variété. Le théorème des fonctions implicites entraîne que, si (U_i, ϕ_i) et (U_j, ϕ_j) sont deux cartes différentiables de la variété de classe C^k, alors ϕ_j ⁻¹ ∘ ϕ_i réalise un difféomorphisme de classe C^k de l'ouvert ϕ_i ⁻¹(ϕ_j(U_j)) inclus dans U_i sur l'ouvert ϕ_j ⁻¹(ϕ_i(U_i)) inclus dans U_j (cf. géométrie différentielle classique, fig. 6, où il faut remplacer S par V).

Soit f une fonction numérique définie sur un ouvert Ω de la variété V de classe C^k (on suppose que Ω est l'intersection de V et de l'ouvert O de E_n) et soit r ≤ k ; alors, les deux conditions suivantes sont équivalentes.

1. Il existe une fonction numérique F de classe C^r définie sur O telle que f soit la restriction de F à Ω.

2. Pour toute carte différentiable (U, ϕ), la fonction numérique f ∘ ϕ définie sur ϕ⁻¹(Ω) est de classe C^r.

Une telle fonction f est appelée une fonction de classe C^r définie sur l'ouvert Ω de la variété V de classe C^k, avec k ≥ r.

Systèmes de cartes et fonctions différentiables

Dans la condition 2 ci-dessus, le fait que V soit un sous-ensemble de E_n n'intervient pas. Il doit donc être possible [...]

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Écrit par :

Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy

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Pour citer l’article

Claude MORLET, « VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/

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