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Transformations globales

Nous considérons ici les transformations globales du plan dans lui-même, qui n'agissent donc pas seulement sur une courbe particulière, mais sur toute sous-partie du plan.

Transformations affines

Une transformation affine est caractérisée, moyennant le théorème fondamental de la géométrie affine réelle, par le fait d'être une bijection du plan dans lui-même conservant les alignements. C'est Leonard Euler (1707-1783) qui est à l'origine de ce terme «affine» car, dit-il en 1748, «deux courbes images l'une de l'autre par une telle transformation présentent entre elles une certaine affinité».

On montre qu'une transformation affine peut se décomposer en produit d'une isométrie, d'une homothétie, et d'une affinité ou d'une transvection (voir la définition de ces trois derniers termes dans la figure 7).

Isométries

Les isométries sont les transformations du plan conservant les distances; une condition équivalente est qu'elles soient affines (i.e. conservent les alignements) et conformes ou anticonformes (i.e. conservent les angles non orientés). Celles d'entre elles qui conservent les angles orientés, appelées déplacements, sont constituées des rotations et translations. Elles ne sont pas vécues véritablement comme des transformations, mais comme de simples changements de position. Les Anciens ne parlaient-ils pas, dans le cas de figures images l'une de l'autre par un déplacement, de figures «égales»?

Les transformations conservant les distances mais renversant les angles, appelées antidéplacements, et constituées des réflexions, transforment une courbe en son «image miroir».

Remarquons que tout antidéplacement d'une courbe ayant un axe de symétrie revient en fait à un déplacement de cette courbe; un antidéplacement ne sera donc vécu comme une transformation que si cette courbe n'est pas symétrique; c'est par exemple le cas des spirales (fig. 1).

Spirale de Fermat

Dessin : Spirale de Fermat

Une spirale de Fermat et son image miroir, obtenue par réflexion. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Cependant, une réflexion plane peut être obtenue par un demi-tour en dimension 3 (résultat qui est un cas particulier du fait que toute isométrie indirecte de ℝn est la restriction à ℝn d'une isométrie directe de ℝn+1); concrètement, il suffit de retourner la feuille sur laquelle est dessinée la courbe et de regarder par transparence pour obtenir son image miroir.

De même, deux courbes gauches, image miroir l'une de l'autre, sont obtenues par un déplacement dans ℝ4; mais comme nous n'avons pas accès à une quatrième dimension dans le monde réel, deux courbes gauches sans plan de symétrie et image miroir l'une de l'autre, par exemple deux hélices (fig. 2) ou deux nœuds de trèfle (fig. 3), sont réellement vues comme distinctes. La notion est d'importance puisque certaines substances sont toxiques ou non selon qu'elles sont dextrogyres ou lévogyres.

Hélice circulaire

Dessin : Hélice circulaire

Une hélice circulaire et son image miroir. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Nœud de trèfle

Dessin : Nœud de trèfle

Un nœud de trèfle et son image miroir. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Similitudes

Les similitudes sont les bijections du plan conservant les rapports de distances; on montre facilement que ce sont les composées d'une isométrie avec une homothétie.

Les similitudes directes sont vues comme de simples changements d'échelle et les similitudes indirectes, comme des changements d'échelle sur l'image miroir.

On confond en général une courbe et sa classe de similitude: «la» parabole est un concept qui regroupe toutes les paraboles, lesquelles sont semblables entre elles.

Mentionnons ici la spirale logarithmique qui est telle que, pour elle, toute similitude revient en fait à une isométrie (fig. 4).

Spirale logarithmique

Dessin : Spirale logarithmique

Spirale logarithmique, d'équation polaire ?.=.ek? : toute rotation de cette courbe autour du point asymptote revient à une homothétie (ek(?+a).=.eka.ek?). 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Autres transformations affines

Elles conservent les alignements, mais pas forcément les angles. Les axes de symétrie orthogonale deviennent par exemple des axes de symétrie oblique.

Quelques exemples:

– Un cercle est transformé en une ellipse, qui, si ce n'est pas un cercle, n'a plus que deux axes de symétrie orthogonaux au lieu d'une infinité.

– Toutes les paraboles étant semblables entre elles, et l'image par une transformation affine d'une conique étant une conique de la même famille, une transformation affine quelconque d'une parabole revient toujours à une similitude. Cela distingue la parabole (y = x2) de la chaînette (y = ch x), dont l'image par une affinité ne donne pas forcément une courbe semblable.

– L'astroïde, d'équations paramétriques

, devient une tétracuspide (ayant quatre rebroussements), qui n'a pas forcément d'axe de symétrie orthogonale. On rencontre ces courbes comme développée de l'ellipse (fig. 5).

Tétracuspides

Dessin : Tétracuspides

Astroïde et autres tétracuspides. L'astroïde a quatre axes de symétrie orthogonale (a) ; la développée de l'ellipse n'en a plus que deux (b) ; la tétracuspide générale ne présente plus de symétries orthogonales (c). 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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– La courbe de la fonction exponentielle est caractérisée par le fait que sa translation le long de son asymptote équivaut à une affinité orthogonale d'axe cette [...]

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Spirale de Fermat

Spirale de Fermat
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Hélice circulaire

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Nœud de trèfle

Nœud de trèfle
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Spirale logarithmique
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Robert FERRÉOL, « COURBES TRANSFORMATIONS DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/transformations-de-courbes/