COURBES TRANSFORMATIONS DE

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Transformations globales

Nous considérons ici les transformations globales du plan dans lui-même, qui n'agissent donc pas seulement sur une courbe particulière, mais sur toute sous-partie du plan.

Transformations affines

Une transformation affine est caractérisée, moyennant le théorème fondamental de la géométrie affine réelle, par le fait d'être une bijection du plan dans lui-même conservant les alignements. C'est Leonard Euler (1707-1783) qui est à l'origine de ce terme «affine» car, dit-il en 1748, «deux courbes images l'une de l'autre par une telle transformation présentent entre elles une certaine affinité».

On montre qu'une transformation affine peut se décomposer en produit d'une isométrie, d'une homothétie, et d'une affinité ou d'une transvection (voir la définition de ces trois derniers termes dans la figure 7).

Isométries

Les isométries sont les transformations du plan conservant les distances; une condition équivalente est qu'elles soient affines (i.e. conservent les alignements) et conformes ou anticonformes (i.e. conservent les angles non orientés). Celles d'entre elles qui conservent les angles orientés, appelées déplacements, sont constituées des rotations et translations. Elles ne sont pas vécues véritablement comme des transformations, mais comme de simples changements de position. Les Anciens ne parlaient-ils pas, dans le cas de figures images l'une de l'autre par un déplacement, de figures «égales»?

Les transformations conservant les distances mais renversant les angles, appelées antidéplacements, et constituées des réflexions, transforment une courbe en son «image miroir».

Remarquons que tout antidéplacement d'une courbe ayant un axe de symétrie revient en fait à un déplacement de cette courbe; un antidéplacement ne sera donc vécu comme une transformation que si cette courbe n'est pas symétrique; c'est par exemple le cas des spirales (fig. 1).

Spirale de Fermat

Dessin : Spirale de Fermat

Dessin

Une spirale de Fermat et son image miroir, obtenue par réflexion. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Cependant, une réflexion plane peut être obtenue par un demi-tour en dimension 3 (résultat qui est un cas particulier du fait que toute isométrie indirecte de ℝn est la re [...]


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Spirale de Fermat

Spirale de Fermat
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Hélice circulaire

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Nœud de trèfle

Nœud de trèfle
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Spirale logarithmique

Spirale logarithmique
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Pour citer l’article

Robert FERRÉOL, « COURBES TRANSFORMATIONS DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/transformations-de-courbes/