TOPOLOGIETopologie algébrique

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Homotopie

À la notion banale de déformation continue des figures, on fait correspondre deux notions mathématiques. L'une, plus précise, est l'isotopie ; l'autre, plus générale, est l'homotopie.

Applications homotopes

Deux applications f et g de l'espace X dans l'espace Y sont dites homotopes s'il existe une application h de X × I dans Y telle que, pour tout point x de X, on ait h(x, 0) = (x) et h(x, 1) = g(x). Cela définit, sur l'ensemble Hom(X, Y) des applications de X dans Y, une relation d'équivalence ; les classes d'équivalence sont appelées les classes d'homotopie d'applications de X dans Y. Si X est un espace compact et Y un espace métrique et si l'on munit Hom(X, Y) de la topologie de la convergence uniforme, dire que f et g sont homotopes, c'est dire qu'il existe un arc γ dans Hom(X, Y) qui joint f à g : si h est l'homotopie, γ(t) est l'application de X dans Y qui à x associe h(xt).

Si A et B sont des sous-espaces de X et Y respectivement, une application f de X dans Y est appelée une application de (X, A) dans (Y, B) si elle applique A dans B. Deux applications f et g de (X, A) dans (Y, B) sont dites homotopes s'il existe une homotopie h de f à g, au sens de Hom(X, Y), telle que, pour tout t ∈ I, l'application x ↦ h(xt) envoie A dans B, c'est-à-dire si f et g peuvent être joints par un chemin dans le sous-espace de Hom (X, Y) formé par les applications de (X, A) dans (Y, B). Si A′ et B′ sont des sous-espaces de A et B respectivement, une application de X dans Y qui applique A dans B et A′ dans B′ est appelée une application de (X, A, A′) dans (Y, B, B′) ; deux telles applications f et g sont dites homotopes s'il existe entre elles une homotopie, au sens de Hom(X, Y), telle que, pour tout t, l'application ↦ h(xt) envoie A dans B et A′ dans B′.

Exemples

Deux applications f et g de X dans Rn sont toujours homotopes, car on définit une homotopie h de f à g en posant :

x ∈ X et t ∈ I.

Au contraire, deux applications f et g de X dans Rn − {O} peuvent ne pas être homotopes. Par exemple, l'application constante f qui envoie S1 sur le point (2, 0) et l'applic [...]


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Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie algébrique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 août 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/