STATISTIQUE THERMODYNAMIQUE

Description des systèmes dynamiques

Les éléments de base d'une description mathématique des systèmes physiques sont, d'une part, les états et, d'autre part, les grandeurs en principe mesurables appelées observables. Dans le cas classique, l'état dynamique ou phase d'un système à s degrés de liberté est défini par des coordonnées généralisées, et cet état peut être représenté comme un point Γ dans un espace à 2 s-dimensions dit espace des phases (cf. mécanique analytique). Par exemple, l'état d'un système classique à N particules est défini par l'ensemble des positions q_i et des impulsions p_i des particules (q_i, p_i ; i = 1, 2, ..., N).

En mécanique statistique (classique), on généralise la notion d'état en introduisant l'état statistique, déterminé par une densité de probabilité ρ(Γ) de toutes les particules du système. Les observables sont alors définis par des fonctions réelles A(Γ) de la phase. En outre, une règle permet le calcul de la valeur moyenne (ou moyenne pondérée) <A>_ρ de la grandeur A dans l'état ρ, notamment :

où (A, ρ) a la forme d'un produit scalaire de A et ρ. Dans le cas de la mécanique quantique, l'état dynamique est donné par le vecteur Ψ, normé à l'unité, d'un espace de Hilbert H ; tandis que l'état statistique ρ est une matrice densité, c'est-à-dire un opérateur non négatif agissant sur n'importe quel élément de H, opérateur de trace un. Les observables A sont représentés par des opérateurs auto-adjoints et bornés dans H(A = A⁺, ∥A∥ < ∞), et leurs valeurs moyennes sont déterminées par :(cf. mécanique quantique). Ces notions peuvent être généralisées au moyen des formalismes mathématiques appropriés, notamment en considérant l'algèbre des observables et en définissant les états en tant que fonctionnelles linéaires positives sur cette algèbre.

Pour les systèmes classiques ou quantiques dont l'évolution est caractérisée par un hamiltonien H, l'état statistique à l'instant t est déterminé par l'état initial ρ(t = 0) et par l'équation de Liouville ou celle de von Neumann (cf. théorie cinétique des fluides, mécanique quantique). Nous écrivons ces équati [...]

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