SPECTRALE THÉORIE

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Théorie spectrale algébrique

Tant en algèbre qu'en analyse, on est fréquemment amené à définir et à calculer des fonctions d'un endomorphisme u d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K (inverse, puissances, exponentielle, etc.). À cet effet, il est utile de chercher les droites de E stables par u. On est ainsi conduit aux notions de valeur propre et de vecteur propre. On dit qu'un élément non nul x de E est un vecteur propre de u si la droite engendrée par x est stable par u, c'est-à-dire s'il existe un élément λ de K tel que u(x) = λx. On dit qu'un scalaire λ est une valeur propre de u si le noyau de u − λIE est non réduit à {0}. L'ensemble des valeurs propres de u s'appelle spectre ponctuel de u et se note sp (u).

Même lorsque E est de dimension finie et que K est algébriquement clos, il peut arriver que E ne soit pas somme directe de droites stables par u. C'est le cas par exemple lorsque u est un endomorphisme nilpotent non nul de E. On voit apparaître l'intérêt de la notion d'endomorphisme diagonalisable : on appelle ainsi un endomorphisme u de E tel que E soit somme directe de droites stables par u, ou encore tel qu'il existe une base de E constituée de vecteurs propres de u. Lorsque E est de dimension finie, cela revient à dire qu'il existe une base de E telle que la matrice associée à u dans cette base soit diagonale. Il peut arriver que plusieurs droites stables correspondent à une même valeur propre.

C'est pour cela que, pour toute valeur propre λ de u, on introduit le sous-espace propre associé à λ, à savoir le noyau de u − λIE. La somme des sous-espaces propres de u est toujours directe ; pour que u soit diagonalisable, il faut et il suffit que cette somme soit égale à E.

Dans le cas où u n'est pas diagonalisable, il convient d'introduire des sous-espaces vectoriels de E stables par u « plus gros » que les sous-espaces propres : on appelle sous-espace spectral de u associé à une valeur propre λ de u le sous-espace vectoriel Fλ réunion des sous-espaces vectoriels :

∈ N. Si la suite (Eλ,r) est stationnaire, on dit que λ est l'indice fini. Le plu [...]


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Écrit par :

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « SPECTRALE THÉORIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 août 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-spectrale/