ERGODIQUE THÉORIE

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Le modèle de Poincaré et l'hypothèse ergodique

Pour expliquer l'hypothèse ergodique, il est commode d'avoir recours à un modèle très simple imaginé par H. Poincaré. Supposons un liquide en mouvement stationnaire dans un récipient Ω de forme invariable et complètement rempli. Si une molécule du liquide occupe la position ω0 à l'instant 0 et ωt à l'instant t, on peut décrire le passage de l'instant 0 à l'instant t et, plus généralement, de l'instant s à l'instant s + t, au moyen d'une transformation ponctuelle θt opérant dans Ω, pour laquelle :

et :
et cela pour toutes les molécules de liquide. Il va de soi que ces transformations forment un groupe, c'est-à-dire que :
quels que soient s, ∈ R ; ou bien, si l'on se désintéresse du passé, un semi-groupe en ne considérant la condition (1) que pour des valeurs positives ou nulles s et t. Pour t = 0, θ0 désigne la transformation identique de Ω. On peut envisager une simplification supplémentaire en se limitant aux instants discrets..., − 2, − 1, 0, 1, 2, ... et, en posant θ1 = θ, se ramener à l'étude du groupe G à un générateur θ :
ou bien du semi-groupe :

En outre, l'incompressibilité du liquide amène à poser la condition suivante : Si E est un volume partiel de Ω et si :

alors les mesures de E et de θ-1E sont égales ; autrement dit, la transformation θ conserve la mesure. Pour un point donné ω ∈ Ω, l'ensemble :
est appelé trajectoire de ω. On dit qu'un point ω est topologiquement infiniment récurrent si tout voisinage de ce point possède une infinité de points de sa trajectoire. On peut alors énoncer le théorème de récurrence qui peut être considéré comme le premier théorème ergodique et qui fut établi par H. Poincaré en 1890.

Théorème de Poincaré. Presque tout point de Ω est topologiquement infiniment récurrent.

En vérité, cela n'est pas exactement l'énoncé donné par le célèbre géomètre qui ne pouvait pas faire usage à cette époque de la théorie de la mesure de Lebesgue, théorie qui permit quelques années plus tard de prouver le théorème de Poincaré.

Revenant au problème général, considéron [...]


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Pour citer l’article

Antoine BRUNEL, « ERGODIQUE THÉORIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-ergodique/