POTENTIEL THÉORIE DU

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Fonctions surharmoniques et potentiels

Pour tout ensemble A de Rn, on note ∂A sa frontière topologique et A− son adhérence. B(xr) désigne une boule ouverte de centre x et de rayon r.

La mesure de Lebesgue est notée dx et on entend par fonction réelle une fonction à valeurs réelles prenant éventuellement les valeurs + ∞ et − ∞.

Fonctions surharmoniques et harmoniques

Une fonction réelle u définie dans un ouvert ω de Rn, ≥ 2, est dite hyperharmonique si elle est semi-continue inférieurement et > − ∞, et si, pour tout ∈ ω et pour toute boule B = B(xr), B− ⊂ ω, on a :

dσ désigne la mesure superficielle de la boule et σ(B) l'aire de la boule B. On exprime cette dernière condition en disant que u majore sa moyenne sur toute boule.

De manière analogue, u est dite hypoharmonique si elle est semi-continue supérieurement et < + ∞ et si, avec les notations précédentes,

pour B− ⊂ ω.

Le module ou le logarithme du module d'une fonction holomorphe de la variable complexe z est hypoharmonique.

On dit qu'une fonction f définie dans un ouvert ω de Rn vérifie le « principe du minimum » si, pour tout ouvert δ, avec δ− compact ⊂ ω, la condition :

pour tout x ∈ ∂δ, entraîne ≥ λ dans δ.

Propriétés des fonctions hyperharmoniques

1. Dans un ouvert ω, une fonction hyperharmonique ne peut atteindre un minimum en un point de ω sans être constante au voisinage. Cela entraîne que les fonctions hyperharmoniques dans un ouvert vérifient le principe du minimum.

2. L'ensemble des fonctions hyperharmoniques forme un cône convexe qui est stable par enveloppe inférieure finie.

3. L'enveloppe supérieure d'un ensemble filtrant croissant de fonctions hyperharmoniques est hyperharmonique.

4. Dans un domaine ω ⊂ Rn, une fonction hyperharmonique finie en un point est finie presque partout. Elle est alors dite surharmonique.

5. Une fonction localement surharmonique est surharmonique.

6. Si s est surharmonique dans un ouvert ω ⊂ Rn, pour tout p et tout compact K ⊂ ω, il existe une suite croissante }sn{ de fonctions surharmoniques p fois continûment différentiables dans un ouvert δ contenant K, telle que :

[...]

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Pour citer l’article

Arnaud de la PRADELLE, « POTENTIEL THÉORIE DU », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-du-potentiel/