MARTINGALES THÉORIE DES

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Calcul stochastique

Considérons l'équation :

représentant, par exemple, l'évolution d'un système où intervient un bruit blanc modélisé par la « dérivée » d'un mouvement brownien (Bt), t ≥ 0 ; pour donner un sens à (⋆), on a besoin de définir l'intégrale du type :

L'intégrale stochastique. Lorsque (Ht), t ≥ 0, est un processus convenable et (Xt), t ≥ 0, une semi-martingale, on peut définir :

car si Ht = 1{≤ T}, où T est un temps d'arrêt, la seule définition naturelle est :
ensuite, par linéarité et continuité, cette « intégrale stochastique » se prolonge à tout H borné, mesurable par rapport à la tribu engendrée par les (Ht), t ≥ 0 de la forme ci-dessus ; on montre que ce prolongement n'est possible que si (Xt), t ≥ 0 est une semi-martingale ; lorsque (Xt) est à variation finie, l'intégrale stochastique coïncide avec l'intégrale de Stieltjes ; mais, lorsque (Xt), ≥ 0, n'est pas à variation finie (par exemple si (Xt), t ≥ 0, est une martingale continue), l'intégrale de Stieltjes n'existe pas alors que l'intégrale stochastique est définie. Indiquons deux outils essentiels qui permettent de manier cette intégrale :

– un théorème de convergence dominée qui s'exprime ainsi : Si une suite (Ht n), ≥ 0, de processus intégrables converge simplement vers un processus (Ht), t ≥ 0, et si, pour tout t ≥ 0, Ht n est majorée en valeur absolue par Kt où (Kt), t ≥ 0, est un processus intégrable, alors on a, au sens de la convergence en probabilité,

– une formule de changement de variable (due à K. Ito dans le cas du mouvement brownien), qui permet de développer tout un calcul différentiel stochastique. Lorsque (Xt), t ≥ 0, est une semi-martingale continue de décomposition Xt = At + Mt où (Mt), t ≥ 0, est localement une martingale continue, la « formule de Ito » a la forme suivante, F désignant une fonction de variables réelles admettant des dérivées F′, F″ continues :

la première intégrale est une intégrale stochastique, la seconde une intégrale de Stieltjes définie à partir du processus croissant « variation quadratique de M » à savoir ([M]t), t≥ 0.

Reprenons maintenant l'équation di [...]

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Écrit par :

  • : docteur ès sciences, chargé de recherche au C.N.R.S.
  • : docteur ès sciences, assistant à l'université de Rennes
  • : docteur ès sciences, attaché de recherche au C.N.R.S.

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Pour citer l’article

Pierre CRÉPEL, Jean MEMIN, Albert RAUGI, « MARTINGALES THÉORIE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-martingales/