MARTINGALES THÉORIE DES

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Martingales à temps discret et théorèmes de convergence

Le cœur de cette partie est l'étude des théorèmes de convergence. Nous donnerons quelques idées sur le théorème d'arrêt, les résultats de convergence, les inégalités et quelques applications.

Exemple 2

Dessin : Exemple 2

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Théorème d'arrêt

L'idée essentielle contenue dans ce paragraphe est la suivante. Pour un jeu équitable, dans un intervalle de temps borné, il n'existe pas de « stratégie » (c'est-à-dire de façon de miser et de quitter le jeu en tenant compte uniquement des coups passés) qui permette de gagner. Ainsi la stratégie « bête » de l'exemple 1 n'est-elle pas plus bête qu'une autre.

En termes mathématiques, cela se traduit de la manière suivante : le caractère de martingale d'un processus n'est pas affecté par un temps d'arrêt. Plus précisément :

– on dit qu'une variable aléatoire T à valeurs dans N est un temps d'arrêt par rapport à une filtration (Fn) si, pour tout entier n, {T = n}, est Fn-mesurable : autrement dit, en termes de jeux, l'instant T où on décide de quitter le jeu ne dépend pas des informations connues à ce moment-là.

– Si T est un temps d'arrêt relativement à (Fn), on définit la tribu FT (dite tribu associée à l'instant aléatoire T) par l'ensemble des événements A tels que A ∩ {T = n} soit Fn-mesurable.

Moralement, c'est la tribu des événements antérieurs à T : si T(ω) = n0 fixé, on retrouve bien Fn0.

Théorème. Si S et T sont deux temps d'arrêt bornés vérifiant S ≤ T, alors

presque sûrement.

Il en résulte, en prenant l'espérance des deux membres, que E(XT) = E(X0) pour tout temps d'arrêt T borné. Réciproquement, on peut montrer que, si un processus vérifie cette propriété, c'est une martingale. En termes de jeux, si Xn représente le gain cumulé en n coups dans un jeu équitable (avec X0 = 0), l'égalité E(XT) = E(X0) signifie bien que l'espérance du gain reste nulle quelle que soit la stratégie adoptée.

Si le temps d'arrêt T n'est pas borné, l'égalité E(XT) = E(X0) ne subsiste pas nécessairement, comme le montre l'exemple 2 ; en effet, dans cet exemple, appelons T le premier instant où la pièce tombe sur pile, T est un temps [...]

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Exemple 1

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Exemple 2

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Écrit par :

  • : docteur ès sciences, chargé de recherche au C.N.R.S.
  • : docteur ès sciences, assistant à l'université de Rennes
  • : docteur ès sciences, attaché de recherche au C.N.R.S.

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Pour citer l’article

Pierre CRÉPEL, Jean MEMIN, Albert RAUGI, « MARTINGALES THÉORIE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-martingales/