MARTINGALES THÉORIE DES

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Espérances conditionnelles

Le problème de l'espérance conditionnelle répond à la question suivante :

Soit (Ω, Fp) un espace de probabilité et soit B une sous-tribu de F : typiquement, B est la tribu σ(Y1, ..., Yn) engendrée par une famille de variables aléatoires Y1, ..., Yn, c'est-à-dire intuitivement d'observations d'un phénomène aléatoire (on dit alors que B exprime l'information contenue dans les observations Y1, ..., Yn).

Le problème est le suivant : si f est une variable aléatoire réelle intégrable, comment estimer au mieux le signal aléatoire f, connaissant les observations résumées par la tribu B ?

L'espérance conditionnelle E(|B) nous donnera la solution.

Définition. Soit A un événement de probabilité non nulle ; nous appelons espérance conditionnelle de f sachant que A est réalisé, et nous notons E(|A), la moyenne de f sur A, c'est-à-dire :

Si f = 1B est une fonction indicatrice, on retrouve la probabilité conditionnelle :

lorsque A est de probabilité nulle, on convient que E(|A) = 0.

Définition. Si P est une partition dénombrable de Ω, c'est-à-dire une famille dénombrable d'événements {Ai}, ∈ N, disjoints et dont la réunion est égale à Ω, nous appelons espérance conditionnelle de f relativement à P, et nous notons E(|P), la variable aléatoire réelle qui, sur chaque ensemble Ai, i ∈ N, est constante et égale à E(|Ai), c'est-à-dire à la moyenne de f sur Ai.

L'espérance conditionnelle E(|P) est alors caractérisée presque partout par les deux propriétés suivantes :

Plus généralement, si B est une sous-tribu de F et f une variable aléatoire réelle intégrable, on montre qu'il existe toujours une variable aléatoire g telle que :

(g n'est définie que presque sûrement, mais nous n'insisterons pas sur cette subtilité).

Une telle variable aléatoire, remplissant les conditions (1) et (2), est notée E(|B) ; on peut remarquer que, si B est la tribu engendrée par une partition P, on a E(|B) = E(|P) presque sûrement.

Lorsque la variable aléatoire réelle f est de carré intégrable, g : = E(|B) est également de carré intégrable et on a l’inégalité :

pour toute [...]

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Écrit par :

  • : docteur ès sciences, chargé de recherche au C.N.R.S.
  • : docteur ès sciences, assistant à l'université de Rennes
  • : docteur ès sciences, attaché de recherche au C.N.R.S.

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Pour citer l’article

Pierre CRÉPEL, Jean MEMIN, Albert RAUGI, « MARTINGALES THÉORIE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-martingales/