CATASTROPHES THÉORIE DES

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Projection d'un plan «.plissé.», 1

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Projection d'un plan « plissé », 2

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Projection d'un pli

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Projection de deux plis

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Les solutions archétypales

Les points catastrophiques

Partons d'un problème géométrique résolu par Whitney : ce problème est à l'origine de la théorie des catastrophes, celui de la classification des applications différentiables du plan sur le plan. Pour s'en faire une image, on peut le remplacer par celui (différent mais du même ordre) de la classification des projections π d'un plan « plissé » Σ sur un plan de base Ω.

Projection d'un plan «.plissé.», 1

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Projection d'un plan «.plissé.» sur un plan de base. 

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Les triplets (Σ, Ω, π) sont les éléments d'un « espace » F (de dimension infinie) dont il s'agit d'analyser la structure. La première grande idée est de travailler qualitativement (phénoménologiquement). Quelles sont à ce niveau les caractéristiques d'une projection (Σ, Ω, π) ? Au-dessus de la plupart des points ω de Ω la situation est localement la suivante :

Il est un « décalque » de Σ sur Ω (un difféomorphisme local). Ce cas ne fournit aucune information. L'information est donc fournie par l'ensemble des points (exceptionnels) de Ω où la situation n'est pas du type précédent.

Un « coup d'œil » jeté sur la figure montre que ces points – dits points catastrophiques – sont la projection des points de Σ – dits points critiques – où la direction de projection est tangente à Σ (on peut définir ces points intrinsèquement, indépendamment de tout plongement de Σ dans un espace ambiant).

Phénoménologiquement, (Σ, Ω, π) se réduit donc au lieu critique C de π dans Σ et à sa projection K = π(C) sur Ω (dit lieu ou ensemble catastrophique de π), c'est-à-dire à ce que l'on appelle le contour apparent de Σ sur Ω relativement à π (on remarquera d'ailleurs que la seule façon de dessiner π est de dessiner son contour apparent). La question se pose alors de classifier ces contours apparents. Mais cette tâche est encore trop difficile. Ici intervient une autre grande idée, qui est celle de la stabilité structurelle. Intuitivement, la projection (Σ, Ω, π) est structurellement stable si elle est invariante par petite déformation. Par exemple, la situation décrite par la figure est stable, alors que la projection d'un plan Σ vertical sur un plan horizontal Ω est hautement ins [...]

Projection d'un plan « plissé », 2

Projection d'un plan « plissé », 2

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Projection d'un plan « plissé » sur un plan de base. Aux lieux critiques du plan « plissé » correspondent les lieux catastrophiques du plan de base. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Écrit par :

  • : ancien élève de l'Ecole polytechnique, docteur es lettres et sciences humaines, vice président de l'International Association for Semiotic Studies, directeur d'études à l'Ecole des hautes études en sciences sociales.

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Pour citer l’article

Jean PETITOT, « CATASTROPHES THÉORIE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-catastrophes/