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DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA

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L'ordinal ε0 et la ω-logique

À plusieurs reprises dans les années trente, Gentzen allait donner des démonstrations de cohérence pour l'arithmétique de Peano AP. Pour obtenir de tels résultats, il était nécessaire, par le second théorème d'incomplétude, de se servir de méthodes extérieures à l'arithmétique. Gentzen utilisa comme méthode l'induction transfinie jusqu'à ε0, où ε0 est défini comme le suprémum des ordinaux ωn, avec ω0 = 1, ωn+1 = ωωn). Dans les années cinquante, Schütte allait donner une version plus accessible de ces mêmes résultats : essentiellement, l'arithmétique de Peano est obtenue à partir du calcul des prédicats en ajoutant le schéma d'axiomes d'induction :

où A est un énoncé arbitraire. Schütte introduit une logique, la ω-logique, où ce schéma est logiquement démontrable : les règles pour ∀ sont :
On écrit des règles symétriques pour le quantificateur ∃. La principale nouveauté de ces règles, c'est leur caractère infinitaire : la règle (d∀ω) nécessite une infinité de prémisses. Dans ces conditions, est-il encore possible de parler d'aspect syntaxique ? oui ; car, bien qu'infinies, ces démonstrations (qui ne sont rien d'autre que des arbres dont les nœuds sont occupés par des séquents) peuvent être représentées par des fonctions récursives dans les bons cas, d'où un concept de ω-démonstration récursive. Par contre, l'ensemble des indices (ou codes) de ω-démonstrations récursives est de complexité logique Π11 .

Le schéma d'induction devient démontrable dans la ω-logique ; c'est, en fait, un cas particulier du théorème suivant, dû à Orey :

Théorème d'ω-complétude. Γ ⊢ Δ est vrai dans tout ω-modèle (modèle dont le domaine est exactement N et où 0̄ et S sont interprétés de façon standard) si et seulement s'il y a une ω-démonstration récursive de Γ ⊢ Δ.

Dans la pratique, on se contentera de construire explicitement une démonstration d'un axiome d'induction à l'aide de (d∀ω). On a le Hauptsatz suivant, dû à Schütte :

Théorème. La ω-logique vérifie l'éliminition des coupures. La démonstration consiste, pour l'essentiel, [...]

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Pour citer l’article

Jean-Yves GIRARD, « DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 15 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-de-la-demonstration/