DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA

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Le programme de Hilbert

David Hilbert a proposé un programme de démonstration d'une opinion philosophique : le formalisme. La prétention de Hilbert à démontrer son point de vue a pour contrepartie évidente la possibilité de le réfuter ; la philosophie s'accommode rarement de conclusions aussi tranchées ! Même réfuté, le formalisme garde ses adeptes, notamment en France, avec Bourbaki : on sait bien que les idéologies simplistes ont un pouvoir d'attraction qui persiste même après leur échec patent ; la réfutation de Hilbert par Gödel ne nous propose en aucune manière une vision de même nature : Gödel a détruit l'espoir de donner une réponse claire et nette à certaines interrogations essentielles, mais il n'a pas donné les bases d'un nouveau credo. Les mathématiques doivent être analysées comme une activité sans signification, semblable à un jeu, tel le jeu d'échecs : il s'agit de règles formelles fixées à l'avance et permettant de construire certains assemblages de symboles, à savoir les énoncés mathématiques et leurs démonstrations.

Voilà le credo formaliste ; évidemment cette attitude s'accommode de positions ontologiques variées, depuis le solipsisme jusqu'aux différentes variantes de positivisme. L'élément essentiel de la pensée de Hilbert (et celle de son époque, le début du xxe siècle), c'est peut-être le mécanisme : à l'opposé des intuitionnistes, qui, avec Brouwer, allaient proclamer le rôle essentiel du mathématicien en tant que sujet pensant, Hilbert réduit celui-ci à la dimension d'un robot : le sens des mathématiques, l'« intuition », ce n'est que ce qui permet de compenser en partie notre infériorité par rapport aux vraies machines.

L'ontologie hilbertienne est non vide : pour Hilbert, il y a certains objets, certaines propriétés, certaines démonstrations qui ont vraiment un sens, qui existent ; il les appelle élémentaires : ce sont les entiers naturels (plus généralement, les constructions finies) pour ce qui est des objets ; le [...]

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GENTZEN GERHARD (1909-1945)

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Logicien allemand, né à Greifswald et mort à Prague lors de son emprisonnement par les Soviétiques. Gentzen a développé l'étude des systèmes de déduction naturelle et établi un théorème d'élimination des coupures. Gerhard Gentzen a également donné une démonstration de consistance de l'arithmétique du premier ordre fondée sur l'induction transfinie jusqu'au premier nombre ordinal inaccessible pour […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/gerhard-gentzen/#i_37468

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Dans le chapitre « Programme de Hilbert et théorie de la démonstration »  : […] Pour deux raisons, la non-contradiction de l'arithmétique par rapport à une autre théorie ne semblait plus démontrable. D'une part, les démonstrations relatives de non-contradiction utilisaient toutes déjà des moyens arithmétiques ; d'autre part, la seule théorie par rapport à laquelle une telle démonstration aurait pu être menée – la logique développée autour d'une théorie classique des ensembles […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_37468

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RÉCURSIVITÉ, logique mathématique

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Pour citer l’article

Jean-Yves GIRARD, « DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-de-la-demonstration/