CINÉTIQUE DES FLUIDES THÉORIE

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Équations cinétiques

Pour étudier les états d'un fluide en dehors de l'état d'équilibre thermodynamique, il faut écrire les équations d'évolution des différentes grandeurs D, f1, f12, ..., à partir des équations de la mécanique.

Équation de Liouville

L'équation la plus fondamentale est celle qui décrit l'évolution de la densité D dans l'espace des phases. De manière tout à fait générale, on montre que cette équation s'écrit sous une forme particulièrement simple, lorsque l'espace des phases où D est défini est constitué à partir de variables qi et pi canoniquement conjuguées au sens de Hamilton. Dans ces conditions, on montre qu'un élément de volume quelconque de l'espace se conserve au cours de l'évolution dynamique du système (théorème de Liouville) et que l'équation d'évolution de D (équation de Liouville) s'écrit :

où H est l'hamiltonien du système. En pratique, dans la théorie cinétique des gaz, on considère généralement des particules non relativistes interagissant par des forces centrales ; dans ces conditions, les variables ri et mwi sont conjuguées et l'équation de Liouville dans l'espace (riwi) s'écrit :
Xi est la force d'origine extérieure agissant éventuellement sur la molécule i et Xij la force d'interaction exercée par la molécule i.

Système d'équations de B.B.G.K.Y. (équations de la hiérarchie)

Par application de la méthode régressive, on peut obtenir, à partir de (40), les équations d'évolution des fonctions de distribution f1, f12, ... On obtient le système :

avec :

Malheureusement, les équations (41), (42), ... sont couplées de proche en proche : l'équation déterminant f1 contient f12, celle qui détermine f12 contient f123, etc. Si donc on s'arrête à un nombre fini d'équations, on a a priori un système indéterminé. Pour décrire complètement l'évolution du système, il faut en principe utiliser un système infini d'équations couplées analogue à (41) et (42). Ce système infini est appelé système B.B.G.K.Y., du nom des premiers auteurs qui l'ont considéré (Born, Bogolioubov, G [...]

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Écrit par :

  • : Professeur à l'Université de Paris-Sud Orsay. Directeur de l'Ecole Supérieure d'Electricité.

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Pour citer l’article

Jean-Loup DELCROIX, « CINÉTIQUE DES FLUIDES THÉORIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 janvier 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-cinetique-des-fluides/