CINÉTIQUE DES FLUIDES THÉORIE

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Fonctions de distribution des vitesses

Les molécules constituant un gaz sont animées à tout instant de mouvements désordonnés qui constituent ce qu'on appelle l'agitation thermique. La description fine d'un gaz doit donc tenir compte de cet état microscopique ; cependant un petit volume de gaz contient toujours en pratique un très grand nombre de molécules (1mm3 d'air dans les conditions normales contient 2,7 . 1016 molécules) ; c'est pourquoi, pour décrire l'état microscopique du gaz, on doit se contenter d'expressions statistiques qu'on appelle les fonctions de distribution des vitesses et qui sont les grandeurs de base de la théorie cinétique des gaz.

Fonction de distribution simple

À un instant donné, le mouvement d'une molécule du gaz peut être caractérisé par son vecteur position r et son vecteur vitesse w. On représente la position par un point dans l'espace ordinaire et le vecteur vitesse par un point dans l'espace des vitesses. Dans chacun de ces deux espaces, on considère alors deux petits éléments de volume dr− = dx dy dz et dw− = dwx dwy dwz, centrés respectivement autour des valeurs moyennes r et w de la position ou de la vitesse. On désigne par <dN> le nombre probable de molécules du gaz dont les points représentatifs sont dans dr−, en ce qui concerne la position, et dans dw−, en ce qui concerne la vitesse ; ce nombre est évidemment proportionnel à dr− et dw− et l'on posera par définition :

f1 (rwt) est appelée la fonction de distribution simple des vitesses (on omet souvent l'adjectif « simple », quand il n'y a pas d'ambiguïté). Une fonction de distribution peut être :

– stationnaire, si elle ne dépend pas de t ;

– homogène, si elle ne dépend pas de r ;

– isotrope, si elle ne dépend que du module de w et non de son orientation.

La figure représente un cas de distribution instationnaire, inhomogène, anisotrope obtenue par l'injection d'une bouffée de gaz dans un récipient préalablement vidé.

Distribution instationnaire

Dessin : Distribution instationnaire

Une situation physique où f1 est instationnaire, inhomogène, anisotrope. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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En pratique, on applique généralement la relation de définition (13) à des éléments de volume qui, tout en étant petits à l'échelle macroscopique, sont encore assez grands pour contenir un grand nombre de molécules. Dans ces conditions, la loi des grands nombres permet d'affirmer que le nombre réel dN de molécules contenues dans ces éléments de volume est voisin du nombre probable <dN> et l'on omet alors dans (13) le signe <>. Quoi qu'il en soit, la fonction de distribution simple permet de calculer presque toutes les grandeurs macroscopiquement mesurables (densité, vitesse de fluide, pression cinétique, taux de réactions physico-chimiques...).

Fonction de distribution double

Pour l'étude de certaines propriétés des gaz, on a besoin de connaître les corrélations binaires entre deux points 1 et 2, c'est-à-dire de savoir dans quelle mesure ce qui se passe au point 1 est affecté par ce qui se passe au point 2 et réciproquement. Considérant donc deux points 1 et 2, définis par leurs positions r1, w1 et r2, w2 dans l'espace ordinaire (espace des positions) et dans l'espace des vitesses, on leur associe de petits éléments de volume dr−1, dw−1, dr−2, dw−2 centrés respectivement sur r1, w1 et r2, w2. Cela étant, on désigne par <dN2> le nombre probable de couples de particules dont les points représentatifs sont dans dr−1 dw−1 pour la première particule du couple, et dans dr2 dw2 pour la deuxième, et on pose par définition :

f12 (r1, w1, r2, w2, t) est appelée la fonction de distribution double (par convention on choisit en général dans le décompte de dN2, de compter chaque couple αβ deux fois ; une fois en désignant par α la particule située en 1, et une fois en désignant par α la particule située en 2).

Lorsque les points 1 et 2 sont suffisamment éloignés dans l'espace des positions, on a :

en désignant par f1 et f2 les valeurs de la fonction de distribution simple aux points 1 et 2. Dans ces conditions, la probabilité double f12 se réduit à un produit de probabilités simples, et l'on dit que les corrélations sont négligeables ou encore qu'entre deux points suffisamment éloignés le fluide obéit à la règle du chaos moléculaire. En dessous d'une certaine distance qu'on peut appeler la longueur de corrélation et qui dépend des interactions entre particules, la loi (15) n'est plus valable : il y a des corrélations ; par exemple, s'il existe d'importantes forces de répulsion à courte distance, f12 doit tendre vers zéro quand la distance entre les points 1 et 2 tend vers zéro.

Densité dans l'espace des phases

En généralisant les notions introduites ci-dessus, on peut définir des fonctions de distribution triples f123, quadruples f1234, ..., qui fournissent une description de plus en plus fine du système. Pour les études théoriques fondamentales de mécanique statistique et de théorie cinétique, on pousse cette description à l'extrême limite, en considérant une fonction de distribition à N particules où N est le nombre total de particules dans le système qu'on suppose donc fini et enfermé, par exemple dans un récipient de volume V (le passage à la limite V et N infinis avec N/V fini est étudié par certains auteurs). L'état ou phase d'un tel système gazeux constitué de N molécules toutes identiques peut donc être considéré comme complètement déterminé à un instant donné par la connaissance de la position et de la vitesse de chacune des N molécules, c'est-à-dire des variables r1, w1, r2, w2, ..., rN, wN, soit 6 N variables scalaires. On considère alors l'espace à 6 N dimensions constitué avec ces variables : on l'appelle l'espace des phases. Un élément de volume de cet espace des phases s'écrit symboliquement :

L'information la plus fine que l'on puisse obtenir sur l'état du système est la probabilité pour que sa phase se trouve dans un tel élément dΦ centré sur un point moyen r1, w1, r2, w2, ..., rN, wN de l'espace des phases, et par définition on écrit cette probabilité sous la forme :

La fonction D est appelée densité dans l'espace des phases.

Si l'on connaît D, on peut en déduire toutes les fonctions de distribution par une méthode dite régressive qui consiste à perdre de l'information par une série d'intégrations. Plus précisément on a :

Dans ces formules, les intégrations sur les variables de position sont étendues au volume V du récipient, et les intégrations sur les vitesses à tout l'espace des vitesses concerné.

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  • : Professeur à l'Université de Paris-Sud Orsay. Directeur de l'Ecole Supérieure d'Electricité.

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Pour citer l’article

Jean-Loup DELCROIX, « CINÉTIQUE DES FLUIDES THÉORIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-cinetique-des-fluides/