ENSEMBLES THÉORIE AXIOMATIQUE DES

ANALYSE NON STANDARD

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 1 410 mots

Au milieu du xx e  siècle, le mathématicien et logicien Abraham Robinson (1918-1974) est parvenu à refonder la notion d'infinitésimale –  de grandeur infiniment petite – dont Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) étaient supposés avoir délivré la communauté mathématique. On était d'ailleurs reconnaissant à ces derniers d'un tel bannissement, parce que les deux siècles qui avaie […] Lire la suite

CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par 
  • Hourya BENIS-SINACEUR
  •  • 2 887 mots
  •  • 1 média

Georg Cantor est le mathématicien de génie qui a ouvert pour les mathématiques le paradis de l’infini . Il a développé la théorie des ensembles qui permet de traiter tout objet mathématique comme un ensemble d’éléments déterminé, fini ou infini, et a introduit le concept de transfini, qui permet une arithmétique de l’infiniment grand. C’est une rupture avec deux mille ans d’histoire, saluée avec […] Lire la suite

COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 154 mots

Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des ensembles et dans la théorie des modèles ; et il a construit des modèles de la théorie des ensembles (sup […] Lire la suite

CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 434 mots

Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix e  siècle et surtout le début du xx e , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle d […] Lire la suite

CONTINU HYPOTHÈSE DU

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 2 247 mots

L'hypothèse du continu est la plus ancienne et l'une des plus fondamentales des questions ouvertes en théorie des ensembles. Les résultats de W. Hugh Woodin constituent une avancée décisive : sans clore la question, ils renouvellent profondément le cadre conceptuel et, pour la première fois, offrent une perspective réaliste de dépasser les limitations établies par Gödel et Cohen et de trancher le […] Lire la suite

CONTINU & DISCRET

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 7 679 mots

Dans le chapitre « Continu et théorie des fondements »  : […] Du double aspect du mystère du continu et du discret, la logique et la théorie des ensembles, en première approche, ne retiennent que celui qui est lié au problème de l'infini en général : le problème du continu y est envisagé comme problème du « nombre transfini » associé à l'objet de l'analyse réelle. On se contentera ici de mentionner le théorème de Lowenheim-Skolem et le résultat de Cohen au s […] Lire la suite

DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 3 356 mots
  •  • 10 médias

Dans le chapitre « L'étrange géométrie du mathématicien ensembliste »  : […] De tels découpages théoriques n'ont pas de traduction physique et aucune figure ne donnera une idée des pièces de Laczkovich qui réalisent la quadrature du cercle. Cela est dû à ce que la preuve de leur existence utilise l'axiome du choix et que les pièces des découpages sont d'une telle complexité (ce sont des nuages discontinus de points) qu'on ne peut pas les représenter. De plus, le « découpa […] Lire la suite

FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 869 mots

Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique pouvant recueillir un soutien unanime (alors que les mathématiques, elles, avancent à grands pas et […] Lire la suite

FRAENKEL ADOLF ABRAHAM HALEVI (1891-1965)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 241 mots

Mathématicien allemand, spécialiste de la théorie des ensembles. Né le 17 évrier 1891 à Munich (Allemagne), Adolf Abraham Halevi Fraenkel fait ses études supérieures dans différentes universités, à Munich, Marburg, Berlin puis Breslau. Ses premiers travaux concernent les nombres p -adiques et la théorie des anneaux. Il enseigne à partir de 1916 à l’université de Marburg et y est nommé professeur e […] Lire la suite

FREGE GOTTLOB (1848-1925)

  • Écrit par 
  • Claude IMBERT
  •  • 3 260 mots

Dans le chapitre « L'antinomie »  : […] Malheureusement, Frege ne parvint pas à composer un système logique impeccable, et la loi V des Lois fondamentales donna à B. Russell l'occasion de formuler l'antinomie des classes en posant la question suivante : si un concept est défini pour tout argument, quelle est la valeur (vrai ou faux) du concept être une classe qui n'appartient pas à soi-même , si on lui donne sa propre extension pour arg […] Lire la suite

GÖDEL KURT (1906-1978)

  • Écrit par 
  • Daniel ANDLER
  •  • 2 293 mots

Dans le chapitre « L'œuvre »  : […] Les travaux de Gödel ont été exposés et situés dans leur contexte mathématique et épistémologique (cf. logique mathématique , hilbert , fondements des mathématiques et problèmes de hilbert ). Aussi nous contenterons-nous ici d'un bref aperçu. Le premier grand résultat est celui de la complétude du calcul des prédicats. Dans leur Grundzüge der Theoretischen Logik , paru en 1928, Hilbert et Ackerm […] Lire la suite

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Problème 1 : hypothèse du continu »  : […] Cantor ayant démontré que le cardinal de l'ensemble des réels R excède celui de l'ensemble des entiers N , la question se pose de savoir si entre ℵ 0 (cardinal de N ) et 2 ℵ 0 (cardinal de R , dont on voit facilement qu'il égale celui de l'ensemble des parties de N ) il existe un cardinal intermédiaire. Autrement dit, est-il possible qu'un sous-ensemble infini de R ne soit équipotent ni à N n […] Lire la suite

LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

  • Écrit par 
  • Jean LOUVEAUX
  •  • 846 mots

Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne et du Collège de France. De retour à Moscou, il prépare une maîtrise (1910), et devient professeur assistant à […] Lire la suite

MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par 
  • Jean Toussaint DESANTI
  •  • 10 438 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'axiomatisation de la géométrie »  : […] La seconde voie fut intérieure à la théorie des ensembles. L'exemple des Grundlagen der Geometrie , publiés par David Hilbert en 1899, fut, sur ce point, décisif. En reconstruisant l'édifice euclidien sur des bases axiomatiques saines, Hilbert avait proposé l'exemple d'un système théorique qui ne devait rien à l'intuition. Les notions qui figurent au point de départ (points, droites, plans) désig […] Lire la suite

MODÈLES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Daniel ANDLER, 
  • Daniel LASCAR, 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 7 958 mots

Dans le chapitre « Types et omission des types »  : […] Dans les développements postérieurs à 1960, en particulier dans le théorème de Morley et ses prolongements (cf. Classification de modèles et complexité d'une théorie ), une notion centrale est celle de n-type d'une théorie complète T. C'est un ensemble p (en général infini) de formules de L, de variables libres v 1 , ..., v n , tel qu'il existe un modèle  a de T contenant un n -uple ( a 1 , ... […] Lire la suite

NEUMANN JOHN VON (1903-1957)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 817 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Logique mathématique »  : […] La deuxième publication de von Neumann, alors à peine âgé de vingt ans, est consacrée à un exposé, dans le système axiomatique de Zermelo, de la théorie des ordinaux. Les définitions vagues de Cantor sont remplacées par une construction précise qui évite l'introduction des types d'ordre : un nombre ordinal apparaît comme l'ensemble de tous les nombres ordinaux plus petits. Par un article de 1928 […] Lire la suite

NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 785 mots

Dans le chapitre « Notion mathématique de nombre »  : […] La fondation de la théorie des ensembles par Georg Cantor à la fin du xix e  siècle a permis de donner d'un nombre une définition mathématique précise. Dans le cadre d'un système axiomatique de la théorie des ensembles, en général celui de Zermelo et Fraenkel, les ensembles de nombres sont définis les uns à partir des autres, comme une construction abstraite, les nombres étant eux-mêmes des ensemb […] Lire la suite

SKOLEM ALBERT THORALF (1887-1963)

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 438 mots

Logicien et mathématicien norvégien né à Sandsvaer et mort à Oslo. Ses travaux en algèbre (théorème de Skolem-Noether pour les algèbres associatives) et en théorie des nombres (introduction des méthodes p -adiques dans la théorie des équations diophantiennes), qui lui vaudraient, en tout état de cause, un rang honorable parmi les mathématiciens de son époque, sont éclipsés par ses éclatantes contr […] Lire la suite

ZERMELO ERNST (1871-1953)

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 186 mots

Mathématicien et logicien allemand, né à Berlin et mort à Fribourg-en-Brisgau, fondateur de la théorie axiomatique des ensembles. En 1904, Ernst Zermelo explicite l'axiome du choix et en déduit que tout ensemble peut être bien ordonné, résultat déjà conjecturé par Moritz Cantor et permettant de légitimer le raisonnement par induction transfinie. En 1908, cinq ans après avoir découvert le paradoxe […] Lire la suite