INCOMPLÉTUDE THÉORÈMES D'

GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDE

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 173 mots

Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématique axiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fauss […] Lire la suite

DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA

  • Écrit par 
  • Jean-Yves GIRARD
  •  • 6 260 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Système LK »  : […] Dans ce qui suit, L est un langage du premier ordre arbitraire. Un séquent est une expression formelle Γ ⊢Δ, où Γ et Δ sont des suites finies d'énoncés de L . L'interprétation intuitive de A 1 , ..., A n  ⊢ B 1 , ..., B m , c'est que la conjonction des A i implique la disjonction des B j . En particulier, ⊢ A veut dire A, et A ⊢ veut dire ¬ A ; quant au séquent vide ⊢, il signifie l'absurdité. […] Lire la suite

FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Jacques-Paul DUBUCS
  •  • 1 490 mots

Dans le chapitre « Le finitisme de Hilbert et son élargissement par Gödel »  : […] Selon Hilbert, les paradoxes auxquels a donné lieu la théorie cantorienne des ensembles proviennent principalement du fait que l'on a utilisé inconsidérément dans le domaine des mathématiques „abstraites“ ou „infinitaires“ des arguments et des modes d'inférence qui sont indiscutablement valides dans le domaine fini, mais dont l'extension ailleurs peut être génératrice de contradictions. Néanmoins, […] Lire la suite

FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 869 mots

Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique pouvant recueillir un soutien unanime (alors que les mathématiques, elles, avancent à grands pas et […] Lire la suite

FORMALISME

  • Écrit par 
  • Étienne BALIBAR, 
  • Pierre MACHEREY
  •  • 5 002 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Logique et mathématique »  : […] Cela ne signifie pas qu'il n'y ait aucun moyen de distinguer rigoureusement entre axiomes « logiques » et axiomes « mathématiques ». Cette distinction est une question d'interprétation du système formel, c'est-à-dire de construction d'un modèle, ensemble d'objets mathématiques qui peuvent être mis en correspondance avec les symboles et les formules du système. À la suite des travaux de l'école pol […] Lire la suite

GÖDEL KURT (1906-1978)

  • Écrit par 
  • Daniel ANDLER
  •  • 2 293 mots

Dans le chapitre « L'œuvre »  : […] Les travaux de Gödel ont été exposés et situés dans leur contexte mathématique et épistémologique (cf. logique mathématique , hilbert , fondements des mathématiques et problèmes de hilbert ). Aussi nous contenterons-nous ici d'un bref aperçu. Le premier grand résultat est celui de la complétude du calcul des prédicats. Dans leur Grundzüge der Theoretischen Logik , paru en 1928, Hilbert et Ackerm […] Lire la suite

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Problème 2 : consistance de l'arithmétique »  : […] Fonder une science, selon Hilbert, c'est déterminer « un système d'axiomes contenant une description exacte et complète des rapports que soutiennent les idées élémentaires de cette science ». Les axiomes constituent, en même temps, une définition de ces idées élémentaires, et les seules assertions relevant de cette science qui soient réputées valides sont celles qui se déduisent des axiomes en un […] Lire la suite

RÉALISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Hourya BENIS-SINACEUR
  •  • 2 164 mots

Dans le chapitre « Le réalisme et l'infini »  : […] Historiquement, les interrogations sur la réalité des entités mathématiques sont principalement liées à la mathématisation de l'infini. Mais d'un côté, l'infiniment petit renvoie au formalisme. Il fut introduit par Leibniz (1646-1716) non comme entité réelle mais comme « fiction bien fondée » et auxiliaire éliminable de calculs dans lesquels il n'importe aucune contradiction. Les techniques algébr […] Lire la suite

RÉCURSIVITÉ, logique mathématique

  • Écrit par 
  • Kenneth Mc ALOON, 
  • Bernard JAULIN, 
  • Jean-Pierre RESSAYRE
  •  • 9 371 mots

Dans le chapitre « Indécidabilité de propriétés classiques »  : […] Propriété b . Pour tout ensemble non vide A ⊂ F R ( p ) , l'ensemble ϕ −1 (A) est non récursif. Ainsi, si on considère une propriété des fonctions calculables définissant un ensemble non vide A ⊂ *F R ( p ) , l'ensemble ϕ −1 (A) des programmes permettant de calculer (ou qui définissent) ces fonctions n'est pas récursif. Par exemple, pour p  = 1, si : ϕ −1 (A) est l'ensemble des programmes qui s' […] Lire la suite