BOLZANO-WEIERSTRASS THÉORÈME DE

COMPACITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 053 mots

La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté nécessaire aux infiniment petits du xviii e  siècle. […] Lire la suite

MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par 
  • Jean Toussaint DESANTI
  •  • 10 438 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'œuvre de Bolzano »  : […] L'œuvre de Bolzano représente, en cette première moitié du siècle, un effort théorique explicite pour penser cette configuration de la mathesis. De cette œuvre immense qui, de la logique et des mathématiques à la théologie et à la philosophie politique, couvre un champ très étendu, nous ne retiendrons ici qu'un aspect, simplement son architecture et son projet, tels qu'ils apparaissent dans l'ouv […] Lire la suite

MÉTRIQUES ESPACES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 426 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Espaces métriques compacts »  : […] On montre que tout sous-ensemble fermé et borné C de l'espace numérique R n possède la propriété suivante, appelée propriété de Borel-Lebesgue  : pour toute famille (U i ) d'ouverts de R n dont la réunion contient C (on dit qu'on a un recouvrement ouvert de C), il existe une sous-famille finie U i 1 , ..., U i n dont la réunion contient C. L'importance de cette propriété dans de nombreuses que […] Lire la suite

NUMÉRIQUE CALCUL

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 5 702 mots

Dans le chapitre « Méthode de dichotomie »  : […] Soit g une fonction numérique continue et strictement monotone sur un intervalle [ a ,  b ], telle que g  ( a ) g  ( b )  <  0. Il existe alors un élément α de [ a ,  b ] et un seul tel que g  (α) = 0. On peut trouver des valeurs approchées de α par l'algorithme suivant : supposons par exemple g  ( a )  >  0 et g  ( b )  […] Lire la suite

TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 4 365 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Propriétés »  : […] Citons les plus importantes propriétés des espaces compacts. 1. Si X est compact et Y séparé, l'image d'une application continue de X dans Y est un sous-espace compact de Y. En particulier, si A est compact, l'image d'une application continue f de A dans R est un sous-espace compact de R  ; c'est donc un sous-ensemble fermé borné de R  ; c'est pourquoi f est une application bornée et atteint se […] Lire la suite