AIRE MINIMALE SURFACES D'

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Le problème de l'autoroute

Le cas le plus simple est celui de la route la plus courte reliant deux villes : nous savons depuis nos premières années d'école que c'est la route rectiligne. Mais si nous essayons de généraliser ce résultat pour déterminer la route la plus courte pour relier trois villes, quatre villes ou plus, le problème devient vite de plus en plus complexe.

Prenons comme exemple le problème qui consiste à déterminer la longueur minimale du réseau routier reliant quatre villes A, B, C et D disposées aux sommets d'un rectangle dont les côtés mesurent 100 km et 200 km. La solution n'apparaît pas immédiatement. Procédons méthodiquement.

Configurations d'autoroutes

Dessin : Configurations d'autoroutes

Configurations d'autoroutes. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

On peut d'abord imaginer un réseau de routes rectilignes qui relieraient toutes les villes deux à deux par le trajet le plus court possible. Les routes de ce réseau auraient dans ce cas un total de : 100 × (6 + 25) km = 1 047 km.

Configurations d'autoroutes

Dessin : Configurations d'autoroutes

Configurations d'autoroutes. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Il est cependant possible de construire une autoroute reliant toutes les villes mais ayant une longueur plus faible. Considérons une route circulaire passant par les quatre villes. Elle relie les quatre villes entre elles, et sa longueur totale est : 100 × (π5) km = 702 km.

Configurations d'autoroutes

Dessin : Configurations d'autoroutes

Configurations d'autoroutes. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Si l'arc de cercle allant de A à B est remplacé par la route la plus courte reliant A à B, c'est-à-dire une route rectiligne, la longueur totale de la route sera réduite. Si on remplace chaque tronçon de route circulaire reliant deux villes adjacentes par une route rectiligne, on obtient une route rectangulaire, dont la longueur est : 100 × (6) km = 600 km.

Configurations d'autoroutes

Dessin : Configurations d'autoroutes

Configurations d'autoroutes. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

On peut encore réduire la longueur totale de l'autoroute en supprimant le tronçon BC. Les quatre villes sont encore reliées les unes aux autres, et la longueur totale n'est plus que de : 100 × (5) km = 500 km.

Configurations d'autoroutes

Dessin : Configurations d'autoroutes

Configurations d'autoroutes. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

On serait tenté de dire, pour des raisons de symétrie, que la longueur minimale d'autoroute sera obtenue grâce au réseau diagonal dont la longueur totale est : 100 × (25) km = 447 km.

Configurations d'autoroutes

Dessin : Configurations d'autoroutes

Configurations d'autoroutes. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

On peut trouver une route de longueur plus faible encore que l'on trace en prenant le rectangle moins le côté AB ; on obtient : 100 × (4) km = 400 km.

Configurations d'autoroutes

Dessin : Configurations d'autoroutes

Configurations d'autoroutes. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Cette configuration correspond-elle au trajet le plus court ? Sinon, quel est le réseau d'autoroute ayant la plus faible longueur, et quel en est le kilométrage ? Recherchons la solution à l'aide de la méthode analogique basée sur les propriétés des membranes savonneuses.

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 6 pages

Médias de l’article

Cube à faces pincées

Cube à faces pincées
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Configurations d'autoroutes

Configurations d'autoroutes
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Lames de savon entre deux feuilles et deux épingles

Lames de savon entre deux feuilles et deux épingles
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Solution du problème des quatre villes

Solution du problème des quatre villes
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Afficher les 20 médias de l'article


Écrit par :

  • : lecturer in theoretical physics, lectures and researches in solid states physics, University of Kent, Canterbury

Classification

Autres références

«  AIRE MINIMALE SURFACES D'  » est également traité dans :

UHLENBECK KAREN (1942- )

  • Écrit par 
  • Fabrice BETHUEL
  •  • 1 281 mots
  •  • 1 média

Karen Uhlenbeck, née Karen Keskulla le 24 août 1942 à Cleveland (Ohio), est une mathématicienne américaine . Après des études à l’université du Michigan puis au Courant Institute à New-York, elle soutient en 1968 une thèse de doctorat dirigée par Richard Palais à l’université Brandeis de Waltham (Massachusetts). Elle est nommée professeure à l’université de Chicago en 1983, puis devient en 1988 p […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Cyril ISENBERG, « AIRE MINIMALE SURFACES D' », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/surfaces-d-aire-minimale/