POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Vers la géométrie symplectique

Dans le formalisme de la mécanique lagrangienne (cf. mécanique analytique), les solutions des systèmes mécaniques classiques sont données par les équations de Lagrange (2)

, où la fonction L (le « lagrangien ») est fonction des variables q₁, ..., q_n qui déterminent la position du système, des variables q̇₁, ..., q̇_n qui sont les vitesses et, éventuellement, du temps t ; i varie de 1 à n. Généralement L est de la forme T – U, où T est l'énergie cinétique qui dépend quadratiquement des variables q̇_i et U l'énergie potentielle qui est indépendante des q̇_i. Dans beaucoup de cas le changement de variables avec nous ramène aux équations de Hamilton (3) , où H (le « hamiltonien ») est une fonction des q_i et des p_i ; c'est la « transformée de Legendre » de L.

A priori les équations précédentes n'ont de sens que lorsque les variables (q₁, ..., q_n) varient dans un ouvert de ℝⁿ, mais, même dans des cas classiques comme la mécanique du corps solide, l'espace des configurations est plus compliqué : c'est une variété différentiable (cf. variétés différentiables) que l'on notera Q. Alors on généralise la situation précédente en considérant que les lagrangiens sont des fonctions L de TQ dans ℝ et les hamiltoniens des fonctions H de T^∗Q dans ℝ, où TQ (resp. T^∗Q) est le fibré tangent (resp. cotangent) de Q (cf. chap. 13, Appendice). Rappelons que TQ (resp. T^∗Q) a, au voisinage de tout point, un système de coordonnées canoniques (q₁, ..., q_n, q̇₁, ..., q̇_n) [respectivement (q₁, ..., q_n, p₁, ..., p_n)] tel que les changements de coordonnées canoniques

[resp. ] sont de la forme et [resp. ], où ϕ désigne un difféomorphisme local quelconque et sa jacobienne au point (q₁, ..., q_n).

Comme les équations de Lagrange peuvent se réinterpréter en termes variationnels (cf. mécanique analytique), elles ont un caractère intrinsèque, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas affectées par un changement de coordonnées canoniques. De façon précise : si l'on considère deux systèmes de coordonnées canoniques (q₁, ..., q_n, q̇₁, ..., q̇_n) et

sur un même ouvert de TQ, alors les équations de Lagrange (2) et (4) ont les mêmes solutions. Il est ainsi licite de parler des équations de Lagrange pour un lagrangien L de TQ dans ℝ où Q est une variété abstraite.

On peut voir que l'on a un résultat analogue pour les équations de Hamilton comme suit. On remarque d'abord que la formule (5)

définit correctement une 2-forme différentiable sur T^∗Q : cela veut dire que si l'on a deux systèmes de coordonnées canoniques (q₁, ..., q_n, p₁, ..., p_n) et sur un même ouvert de T^∗Q, alors on a . Soit alors X un champ de vecteurs sur T^∗Q et H une fonction différentiable de T^∗Q dans ℝ ; on dit que X est un champ hamiltonien, de hamiltonien H, si l'on a la relation (6) i_Xω₀ = dH, où i_Xω₀ désigne le produit intérieur de X par ω₀ [c'est la 1-forme différentielle définie par i_Xω₀(Y) = ω₀(X, Y)]. Si l'on travaille dans un système de coordonnées canoniques (q₁, ..., q_n, p₁, ..., p_n), l'équation (6) équivaut à (3). Mais le caractère intrinsèque de ω₀ assure celui du champ X, donc celui de (3) qui définit ses trajectoires. Par la suite X sera plutôt notée X_H.

Nous rappelions en introduction que S. D. Poisson avait introduit les crochets « de Poisson »

de deux fonctions f et g des variables (q₁, ..., q_n, p₁, ..., p_n). Cette notion se généralise à deux fonctions f et g définies sur T^∗Q pour n'importe quelle variété Q en remarquant, par exemple, que l'on a (7) {f, g} = ω₀(X_f, X_g).

En fait, on généralise les constructions précédentes comme suit. Une forme symplectique sur une variété M est une 2-forme différentielle ω qui est fermée (dω = 0) et non dégénérée en ce sens que, pour tout m dans M, l'application bilinéaire antisymétrique (X, Y) ↦ ω(m)(X,Y) de T_mM×T_mM dans ℝ, soit de rang égal à la dimension de M. En particulier cela impose que M est de dimension paire. Une variété symplectique est une variété munie d'une forme symplectique. Le terme « symplectique » est apparu en 1946 dans les travaux d'Hermann Weyl (1885-1955). Le champ hamiltonien, de hamiltonien f, sur M est le champ de vecteurs X_f défini sur M par la relation (8)

, f étant une fonction différentiable définie sur M. Le crochet de Poisson des deux fonctions f et g est défini par (9) {f, g} = ω(X_f, X_g). Le théorème fondamental suivant montre que toute variété symplectique se comporte localement comme une variété T^∗Q.

Lemme de Darboux. Soit ω une forme symplecti [...]

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