POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

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Vers la géométrie symplectique

Dans le formalisme de la mécanique lagrangienne (cf. mécanique analytique), les solutions des systèmes mécaniques classiques sont données par les équations de Lagrange (2)

, où la fonction L (le « lagrangien ») est fonction des variables q1, ..., qn qui déterminent la position du système, des variables 1, ..., n qui sont les vitesses et, éventuellement, du temps t ; i varie de 1 à n. Généralement L est de la forme T – U, où T est l'énergie cinétique qui dépend quadratiquement des variables i et U l'énergie potentielle qui est indépendante des i. Dans beaucoup de cas le changement de variables
avec
nous ramène aux équations de Hamilton (3)
, où H (le « hamiltonien ») est une fonction des qi et des pi ; c'est la « transformée de Legendre » de L.

A priori les équations précédentes n'ont de sens que lorsque les variables (q1, ..., qn) varient dans un ouvert de ℝn, mais, même dans des cas classiques comme la mécanique du corps solide, l'espace des configurations est plus compliqué : c'est une variété différentiable (cf. variétés différentiables) que l'on notera Q. Alors on généralise la situation précédente en considérant que les lagrangiens sont des fonctions L de TQ dans ℝ et les hamiltoniens des fonctions H de TQ dans ℝ, où TQ (resp. TQ) est le fibré tangent (resp. cotangent) de Q (cf. chap. 13, Appendice). Rappelons que TQ (resp. TQ) a, au voisinage de tout point, un système de coordonnées canoniques (q1, ..., qn1, ..., n) [respectivement (q1, ..., qnp1, ..., pn)] tel que les changements de coordonnées canoniques

[resp.
] sont de la forme
et
[resp.
], où ϕ désigne un difféomorphisme local quelconque et
sa jacobienne au point (q1, ..., qn).

Comme les équations de Lagrange peuvent se réinterpréter en termes variationnels (cf. mécanique analytique), elles ont un caractère intrinsèque, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas affectées par un changement de coordonnées canoniques. De façon précise : si l'on considère deux systèmes de coordonnées canoniques (q1, ..., qn1, ..., n) et

sur un même ouvert de TQ, alors les [...]


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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

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Écrit par :

  • : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)

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Jean Paul DUFOUR, « POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-de-poisson-et-nambu/