POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Dans le formalisme de la mécanique lagrangienne (cf. mécanique analytique), les solutions des systèmes mécaniques classiques sont données par les équations de Lagrange (2)

, où la fonction L (le « lagrangien ») est fonction des variables q₁, ..., q_n qui déterminent la position du système, des variables q̇₁, ..., q̇_n qui sont les vitesses et, éventuellement, du temps t ; i varie de 1 à n. Généralement L est de la forme T – U, où T est l'énergie cinétique qui dépend quadratiquement des variables q̇_i et U l'énergie potentielle qui est indépendante des q̇_i. Dans beaucoup de cas le changement de variables avec nous ramène aux équations de Hamilton (3) , où H (le « hamiltonien ») est une fonction des q_i et des p_i ; c'est la « transformée de Legendre » de L.

A priori les équations précédentes n'ont de sens que lorsque les variables (q₁, ..., q_n) varient dans un ouvert de ℝⁿ, mais, même dans des cas classiques comme la mécanique du corps solide, l'espace des configurations est plus compliqué : c'est une variété différentiable (cf. variétés différentiables) que l'on notera Q. Alors on généralise la situation précédente en considérant que les lagrangiens sont des fonctions L de TQ dans ℝ et les hamiltoniens des fonctions H de T^∗Q dans ℝ, où TQ (resp. T^∗Q) est le fibré tangent (resp. cotangent) de Q (cf. chap. 13, Appendice). Rappelons que TQ (resp. T^∗Q) a, au voisinage de tout point, un système de coordonnées canoniques (q₁, ..., q_n, q̇₁, ..., q̇_n) [respectivement (q₁, ..., q_n, p₁, ..., p_n)] tel que les changements de coordonnées canoniques

[resp. ] sont de la forme et [resp. ], où ϕ désigne un difféomorphisme local quelconque et sa jacobienne au point (q₁, ..., q_n).

Comme les équations de Lagrange peuvent se réinterpréter en termes variationnels (cf. mécanique analytique), elles ont un caractère intrinsèque, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas affectées par un changement de coordonnées canoniques. De façon précise : si l'on considère deux systèmes de coordonnées canoniques (q₁, ..., q_n, q̇₁, ..., q̇_n) et

sur un même ouvert de TQ, alors les [...]