POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE
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Vers la géométrie symplectique
Dans le formalisme de la mécanique lagrangienne (cf. mécanique analytique), les solutions des systèmes mécaniques classiques sont données par les équations de Lagrange (2)




A priori les équations précédentes n'ont de sens que lorsque les variables (q1, ..., qn) varient dans un ouvert de ℝn, mais, même dans des cas classiques comme la mécanique du corps solide, l'espace des configurations est plus compliqué : c'est une variété différentiable (cf. variétés différentiables) que l'on notera Q. Alors on généralise la situation précédente en considérant que les lagrangiens sont des fonctions L de TQ dans ℝ et les hamiltoniens des fonctions H de T∗Q dans ℝ, où TQ (resp. T∗Q) est le fibré tangent (resp. cotangent) de Q (cf. chap. 13, Appendice). Rappelons que TQ (resp. T∗Q) a, au voisinage de tout point, un système de coordonnées canoniques (q1, ..., qn, q̇1, ..., q̇n) [respectivement (q1, ..., qn, p1, ..., pn)] tel que les changements de coordonnées canoniques






Comme les équations de Lagrange peuvent se réinterpréter en termes variationnels (cf. mécanique analytique), elles ont un caractère intrinsèque, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas affectées par un changement de coordonnées canoniques. De façon précise : si l'on considère deux systèmes de coordonnées canoniques (q1, ..., qn, q̇1, ..., q̇n) et


On peut voir que l'on a un résultat analogue pour les équations de Hamilton comme suit. On remarque d'abord que la formule (5)



Nous rappelions en introduction que S. D. Poisson avait introduit les crochets « de Poisson »

En fait, on généralise les constructions précédentes comme suit. Une forme symplectique sur une variété M est une 2-forme différentielle ω qui est fermée (dω = 0) et non dégénérée en ce sens que, pour tout m dans M, l'application bilinéaire antisymétrique (X, Y) ↦ ω(m)(X,Y) de TmM×TmM dans ℝ, soit de rang égal à la dimension de M. En particulier cela impose que M est de dimension paire. Une variété symplectique est une variété munie d'une forme symplectique. Le terme « symplectique » est apparu en 1946 dans les travaux d'Hermann Weyl (1885-1955). Le champ hamiltonien, de hamiltonien f, sur M est le champ de vecteurs Xf défini sur M par la relation (8)

Lemme de Darboux. Soit ω une forme symplecti [...]
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Écrit par :
- Jean Paul DUFOUR : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)
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Jean Paul DUFOUR, « POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-de-poisson-et-nambu/