ALGÉBRIQUES STRUCTURES

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Notion de structure mathématique

Rappels préliminaires

Ensembles, parties, couples, multiplets

Rappelons tout d'abord que la locution « objet mathématique » désigne toute notion que l'on définit ou étudie en mathématique et que les noms « élément » et « ensemble » sont, du moins dans certaines théories, presque synonymes d'« objet mathématique » : lorsque deux objets mathématiques a et b peuvent être reliés par la relation d'appartenance, notée par le signe ∈, on écrit a ∈ b (lu « a appartient à b ») et on dit que a est un élément de l'ensemble b ; si en outre b ∈ c, alors b, qui est un ensemble contenant a, est aussi un élément de l'ensemble c ; un objet mathématique peut donc être à la fois un élément et un ensemble. Une présentation plus rigoureuse de ces notions est du ressort de la théorie des fondements de la mathématique et de la théorie des ensembles (cf. fondements des mathématiques, logique mathématique, théorie axiomatique des ensembles, théorie élémentaire des ensembles). L'ensemble vide, noté ∅, est l'unique ensemble qui ne contient aucun élément, un singleton est un ensemble à un élément (par exemple l'ensemble {a}), une paire un ensemble à deux éléments (par exemple l'ensemble {ab}, avec a ≠ b ; si a = b, {ab} = {aa} = {a} est un singleton).

Une partie (ou un sous-ensemble) d'un ensemble E est un ensemble A tel que tout élément de A soit élément de E ; ∅ est la partie vide de E ; E est la partie pleine de E ; l'ensemble des parties d'un ensemble E est l'ensemble dont les éléments sont les parties de E et se note en général P(E).

Un couple est un ensemble, noté avec des parenthèses, par exemple (ab), tel que (ab) = {{a}, {ab}} ; un couple (ab) est donc, soit une paire (si a ≠ b), soit un singleton [si a = b, (ab) =  (aa) = {{a}}] ; a est appelé la première projection du couple (ab), b en étant la seconde projection [ce que l'on peut noter : a = pr1 (ab) et b = pr2 (ab)]. Soient A et B deux ensembles, distincts [...]

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  • : éditeur, diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

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Pour citer l’article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN, « ALGÉBRIQUES STRUCTURES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 28 juin 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/