STRUCTURALISME, mathématique

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Question de Paul Benacerraf sur la nature des nombres

Paul Benacerraf, dans un article de 1965 devenu central en philosophie des mathématiques, « What number could not be » (in Philosophical Review, vol. 74, no 1, pp. 47-73), remarque que les nombres entiers sont souvent définis aujourd'hui par une construction à partir de l'ensemble vide et que deux méthodes au moins sont possibles pour cela : entiers de Von Neumann (0 = Ø ; 1 = {Ø} ; 2 = {Ø,{Ø}}, ..., n + 1 = n ∪ {n}) ; entiers définis par emboîtements simples (0 = Ø, 1 = {Ø}, 2 = {{Ø}}, ... n + 1 = {n}). Pour les nombres réels, on se trouve dans une situation équivalente, puisque diverses constructions concurrentes en ont été proposées au cours du xixe siècle. Malgré ces définitions présentées dans les textes mathématiques avec le plus grand sérieux, il n'est pas vrai que l'on y décrive vraiment ce que sont les nombres, en livrant par leur décomposition ensembliste le secret d'une nature qui aurait échappé aux mathématiciens avant son élucidation récente. Pour un mathématicien, la nature profonde d'un objet mathématique se définit par les rapports qu'il entretient avec d'autres au sein d'une totalité – que l'on peut appeler structure. Cette nature ne se fonde pas sur les montages ensemblistes ou autres qu'on en donne, car ceux-ci ne sont que des artifices adoptés dans le cadre de présentations formelles particulières, et au sujet desquels aucun accord n'est requis ou attendu entre mathématiciens.


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 3 pages





Écrit par :

Classification


Autres références

«  STRUCTURALISME, mathématique  » est également traité dans :

BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)

  • Écrit par 
  • André MARTINEAU
  •  • 1 734 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Construction logique et ensembliste »  : […] Nicolas Bourbaki prend comme point de départ pour sa construction la logique formelle et la théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré de complexité. Et, de même que la chimie distingue les éléments simples à partir desquels tout peut […] Lire la suite

NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 894 mots

Sous-titré « Histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé », le livre (éd. J.-C. Lattès, Paris, 2009) qu'Amir Aczel – chercheur au Centre d'histoire des sciences de l'université de Boston (États-Unis) – consacre au groupe Bourbaki et à son influence sur les mathématiques du xx e  siècle est un hommage objectif et fort documenté aux réalisations de quelques mathématiciens. Ces dernie […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean-Paul DELAHAYE, « STRUCTURALISME, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/structuralisme-mathematique/