STRUCTURALISME, mathématique

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Structuralisme méthodologique de Bourbaki

L'idée que les mathématiques ne sont ni la science des nombres, ni celles des figures, ni celle des ensembles, mais celle des structures, provient de la pratique de l'axiomatisation (progressivement acceptée par tous les mathématiciens), et plus spécifiquement de l'école algébrique de Van den Waerden, mais c'est chez Bourbaki seulement qu'elle prend une forme précise, consciente et systématique, dont l'idée générale a été exprimée par Bourbaki lui-même en 1962 : « Pour définir une structure, on se donne une ou plusieurs relations où interviennent ses éléments [...] ; on postule ensuite que la ou les relations données satisfont à certaines conditions (qu'on énumère) et qui sont les axiomes de la structure envisagée. Faire la théorie d'une structure donnée, c'est déduire les conséquences logiques des axiomes de la structure, en s'interdisant toute autre hypothèse sur les éléments considérés (en particulier toute hypothèse sur leur „nature“ propre). »

Bourbaki place la notion de structure au cœur de sa conception générale des mathématiques, ce qui le conduit même à définir d'une manière formelle (c'est-à-dire entièrement spécifiée mathématiquement) ce qu'est une structure. La définition, assez indigeste – elle occupe plusieurs pages du chapitre IV du livre I des Éléments de mathématique –, a en fait été peu utilisée par Bourbaki lui-même et n'a pas eu de succès dans la communauté internationale où la théorie des catégories, plus souple que la théorie des structures de Bourbaki, a fait oublier rapidement cette tentative d'une définition technique et définitive de la notion de structure. Frédéric Patras fait remarquer que cette définition n'a pas trouvé « de fonction opératoire véritable [...] parce qu'elle est restée à l'état embryonnaire et ne semble jamais avoir été considérée comme un champ de recherche actif parmi les membres du groupe ». Pierre Cartier, ancien du groupe Bourbaki, confirme : « Bourbaki n'a pas produit une théorie mathématique des structures, et n'y tenait peut-êtr [...]

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Jean-Paul DELAHAYE, « STRUCTURALISME, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 août 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/structuralisme-mathematique/