SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Caractère universel d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse

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Construction de l'application DA(e)

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Classification des germes de petite codimension μ

Appelons stablement équivalents deux germes f ∈ En, ∈ Eq tels que (x1, ..., xn) et g(x1, ..., xq) + Q(xq+1, ..., xn) soient dans la même orbite de Ln, où Q est un germe de Morse (qu'on peut donc supposer être une forme quadratique non dégénérée). Les théories de déformation de f et g sont analogues car En/J() ≃ Eq/J(g). Soit maintenant f ∈ Mn un germe singulier tel que le rang de la matrice :

soit égal à n − q. À l'aide d'un feuilletage de Rn par des (n − q)-plans transverses au noyau de cette forme quadratique, on peut considérer f comme une déformation à q paramètres d'un germe de Morse dans Enq. L'expression, établie au chapitre 7, de la déformation universelle d'un germe de Morse nous fournit un germe g ∈ M3q ⊂ Eq tel que f et g soient stablement équivalents. On appelle q le corang de f. Cette remarque est fondamentale pour la classification des germes de petite codimension car :
puisque J(g) + M3q est engendré par les générateurs de M3q et q polynômes homogènes de degré 2 (le premier terme du développement de Taylor de chacune des dérivées partielles de g). Par exemple, si μ ≤ 6, on a forcément q ≤ 2 : c'est le cas pour la théorie des catastrophes élémentaires où μ ≤ 5, ce qui explique que celles-ci soient représentées par des fonctions de 1 ou 2 variables seulement !

En cherchant par quel jet les germes sont déterminés, on arrive facilement à la classification de René Thom (on a supposé (0) = 0) :

μ = 0 germe régulier,

μ = 1 germe de Morse,

μ = 2 germe stablement équivalent à x31 (pli),

μ = 3 germe stablement équivalent à ± x41 (fronce ou cusp),

μ = 4 germe stablement équivalent à x51 (queue d'aronde)

 ou à x31 − 3x1x22 (ombilic elliptique)

 ou à x31 + x32 (ombilic hyperbolique),

μ = 5 germe stablement équivalent à ± x61 (papillon)

 ou à x21x2 + x42 (ombilic parabolique).

La déformation universelle de xn a déjà été écrite ; des déformations universelles des ombilics sont, par exemple, les suivantes :

ombilic elliptique :

ombilic hyperbolique :
ombilic parabolique :

Remarquons que tous ces germes sont représentés par d [...]


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Pour citer l’article

Alain CHENCINER, « SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/