SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Caractère universel d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse

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Construction de l'application DA(e)

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Stratification de C∞(N, R) − Σ et familles « génériques » de fonctions

On peut caractériser les déformations verselles par une propriété de transversalité (comparer à la transversalité de S à l'orbite locale de f au chapitre 5) : si f ∈ En est déterminé à difféomorphisme local près par son jet d'ordre k, alors F ∈ En+l est une déformation verselle de f si et seulement si l'application ϕ : Rn+l ↦ Jk 0(RnR), où ϕ(xt) est le jet d'ordre k en 0 de ↦ F(x + yt), est transverse en (0, 0) à l'orbite Γkf de jk(0) sous l'action du groupe Lk n des k-jets en 0 de difféomorphismes locaux de Rn, 0.

Cela pourrait laisser croire que, « en général », une famille de fonctions est un déploiement versel de chacun des éléments de la famille (au niveau des germes ou au niveau global).

S'il en est bien ainsi pour des familles dépendant d'un petit nombre de paramètres, il n'en est rien dans le cas général, car les orbites dans Jk 0(RnR) (resp. dans C(N, R)) de l'action de Lk n (resp. de Diff N × Diff R) forment des familles continues (modules) et, si la transversalité à une sous-variété est une propriété vérifiée « en général », ce n'est plus le cas de la transversalité à toutes les sous-variétés d'une famille.

Point de non-transversalité

Point de non-transversalité

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Exemple de point de non-transversalité. 

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Il est naturel de chercher à grouper ces familles d'orbites en sous-variétés (ouvertes) formant une partition localement finie (stratification) de Jk 0(RnR) − Σk(resp. C(N, R) − Σ) ayant d'assez bonnes propriétés (stratification de Whitney) pour que la transversalité à chacune des sous-variétés de la partition (strate) soit vérifiée « en général ». De telles stratifications ont été construites par R. Thom et J. Mather.

Un exemple simple de module nous est fourni par la famille des 4-jets en 0 des fonctions x3y − xy3 + tx2y2 = ft(xy) ; le birapport des quatre droites f t −1(0) est un invariant de l'orbite et varie continûment avec t. Remarquons que, dans cet exemple, les germes ft se déduisent l'un de l'autre par un changement de coordonnées continu (mais non différentiable). Dans le cas général, les éléments d'une même strate auront « même type topologique » (en fait [...]

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Pour citer l’article

Alain CHENCINER, « SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/