SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Caractère universel d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse

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Construction de l'application DA(e)

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Points réguliers

Parler de la forme des hypersurfaces de niveau d'une fonction différentiable peut sembler voué à l'échec en fonction du théorème suivant, dû à Hassler Whitney : Étant donné un fermé F de Rn, il existe une fonction f : Rn → R de classe C telle que −1(0) = F ; le caractère C de f n'est pas, dans cet énoncé, une restriction plus forte que la simple continuité.

La dérivabilité intervient par contre de façon essentielle dans le lemme de Sard qui, étant donné une application f : Rn → Rp, p ≤ n, assure que l'image f (Σ(f )) de l'ensemble Σ() des points singuliers (on dit aussi critiques) de f (points où la dérivée de f n'est pas de rang p) est de mesure de Lebesgue nulle dès que f est de classe Cr, avec ≥ n − p + 1. Si p, il est facile de voir que la conclusion vaut pour f (Rn) dès que f est de classe C1. Ce lemme est le seul théorème de structure global applicable à toute fonction C sur Rn (ou sur une variété C) ; bien que d'énoncé peu géométrique (car, même si f : → R est analytique, l'ensemble (Σ()) peut être dense dans R), il est très porteur de géométrie : par l'intermédiaire des théorèmes de transversalité de René Thom dans les espaces de jets, il permet de faire de la géométrie sur presque toute fonction C (dans un sens très fort qui apparaîtra plus loin).

Une première conséquence du lemme de Sard est l'existence, pour toute fonction f : N → R de classe C sur une variété N de classe C, de « beaucoup » de points réguliers, c'est-à-dire de points ∈ N tels que la dérivée Df (a) soit une forme linéaire non nulle sur l'espace tangent TaN de N au point a. Par l'intermédiaire d'une carte locale, on peut supposer, pour l'étude de f au voisinage de a, que N = Ω est un ouvert de Rn ; le point a = (a1, ..., an) est alors régulier si et seulement si il existe un indice i compris entre 1 et n tel que :

Dans ce cas, l'application Ψ : Ω → Rn, définie par :

où :
vérifie Ψ(a) = a, et DΨ(a) est l'identité. D'après le théorème d'inversion locale (qui équivaut au théorème des fonctions implicites), il existe un [...]

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Pour citer l’article

Alain CHENCINER, « SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/