SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

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Notations

Les séries trigonométriques sont les séries de la forme :

dans lesquelles t désigne une variable réelle, ω un nombre > 0 (c'est la fréquence fondamentale), les an et les bn des coefficients réels (b0 = 0), les rn des nombres ≥ 0 (les amplitudes) et les ϕn des nombres réels définis modulo 2π (les phases). Les séries (1) et (2) sont liées par les formules :

Les sommes partielles s'écrivent :

Il est souvent commode de les écrire :

en posant cn = an + ibn, ≥ 0, et cnan − ibn, ≤ 0. Cela amène à considérer, au lieu de séries (1) ou (2), des séries :
à coefficients cn complexes, dont on définit encore les « sommes partielles » par (3).

C'est sous la forme inspirée de (4) que s'écrivent le plus commodément les « séries trigonométriques généralisées » :

où la suite λn est réelle (les λn s'appellent les fréquences) et les « séries trigonométriques multiples » :
t = (t1, t2, ..., tk) ∈ Rk et où (n, ) est le produit scalaire n1t1 + n2t2 + ... + nktk.

Dans la théorie des séries trigonométriques, on choisit généralement ω = 1 (pour la commodité de l'écriture) ou ω = 2π (parce qu'alors les termes des séries (1), (2), (4) sont invariants par le changement de t en t + 1, et qu'ainsi t peut être considéré comme une variable sur le tore T = R/Z, c'est-à-dire un nombre réel défini modulo 1). C'est ce dernier parti que nous prendrons.

Si f est une fonction, à valeurs complexes, définie sur T, c'est-à-dire une fonction périodique et de période 1, on pourra tenter de la représenter par une série trigonométrique. À cette fin, on lui associe la série (4), définie par :

on peut interpréter l'intégrale sur T comme une intégrale prise sur un intervalle quelconque de longueur 1. Si la fonction f est réelle, on peut aussi lui associer la série (1) définie par :
n est un entier ≥ 1.

On appelle formules de Fourier les séries (7) et (8) ; leurs premiers membres s'appellent « coefficients de Fourier de f », et les séries (4), (1) ou (2) correspondantes « séries de Fourier de f ».

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Pour citer l’article

Jean-Pierre KAHANE, « SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 juin 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/series-trigonometriques/