SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

Séries

Soit G un groupe commutatif topologique séparé, dont la loi est notée additivement. On appelle série d'éléments de G un couple A = ((u_n), (s_n)) constitué de deux suites d'éléments de G telles que, pour tout entier naturel n, on ait :

l'élément s_n s'appelle somme à l'ordre n, la suite (u_n), terme général, et la suite (s_n), suite des sommes partielles de la série A.

On dit que la série A est convergente ou divergente suivant que la suite (s_n) converge ou non. Lorsque la série A est convergente, la limite s de (s_n) s'appelle somme de A et se note encore :

dans ces conditions, pour tout entier naturel n, l'élément r_n = s − s_n s'appelle reste à l'ordre n et se note :

Il est immédiat que, si la série A converge, son terme général tend vers 0. Examinons les liens entre suites et séries. Pour toute suite (u_n) d'éléments de G, il existe une série A et une seule dont le terme général est (u_n) ; sa somme à l'ordre n est définie par la relation (1). Inversement, pour toute suite (s_n) d'éléments de G, il existe une série A et une seule dont la suite des sommes partielles est (s_n) ; son terme général est défini par les relations :

Ainsi, par définition, l'étude de la convergence d'une série se ramène à celle d'une suite. Réciproquement, les règles de convergence des séries peuvent servir à étudier la convergence d'une suite par l'intermédiaire de la série des différences.

Le cas fondamental dans la théorie des séries est celui où G est le groupe sous-jacent à un espace vectoriel normé E. Les séries d'éléments de E constituent un espace vectoriel ; les séries convergentes constituent un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel précédent, et l'application qui à toute série convergente fait correspondre sa somme est linéaire. La multiplication de Cauchy des séries d'éléments d'une algèbre normée ne présente d'intérêt que dans le cas des séries entières ; nous n'indiquerons ici que la multiplication des familles sommables (cf. infra).

Lorsque l'espace vectoriel normé E est complet, le critère de convergence de Cauchy prend la forme suivante : Pour qu'une série A = ((u_n), (s_n)) converge, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 0, il existe un entier naturel n₀ tel que, pour tout couple (q, r) d'entiers naturels avec r > q ≥ n₀, on ait :

Lien avec les intégrales impropres

Supposons toujours l'espace vectoriel normé E complet. L'étude de la convergence d'une intégrale impropre peut se ramener à celle d'une série, et réciproquement. Soit en effet f une application réglée (cf. calcul infinitésimal - Calcul à une variable, chap. 3) de [0, + ∞[ dans E admettant 0 pour limite à l'infini, (α_n) une suite strictement croissante de nombres réels positifs tendant vers + ∞ telle que α₀ = 0 et que la suite (α_n+1 − α_n) soit bornée, et enfin A la série dont le terme général est défini par la relation :

pour que l'intégrale impropre :converge, il faut et il suffit que la série A converge.

Convergence des séries de nombres réels positifs

Dans le cas des séries de nombres réels positifs, on peut obtenir des règles plus précises de convergences des séries, grâce au résultat fondamental suivant : Pour qu'une série A = ((u_n), (s_n)) de nombres réels positifs converge, il faut et il suffit que la suite (s_n) soit majorée. Plus précisément, si cette suite est majorée, on a :

si cette suite n'est pas majorée, s_n tend vers + ∞.

Soit A et B deux séries de nombres réels positifs, de termes généraux (u_n) et (v_n). Si, pour tout entier naturel n, on a u_n ≤ v_n, il découle du théorème ci-dessus que la convergence de la série B implique celle de la série A. Dans ce cas :

Ce corollaire permet de ramener l'étude de la plupart des séries à celle de séries beaucoup plus simples, qui serviront alors de séries de référence pour les séries les plus générales. La convergence de ces séries de référence s'établit en les comparant à des intégrales impropres, ce qui montre l'importance du résultat que voici.

Soit f une fonction réglée sur [0, + ∞[ à valeurs réelles positives, décroissante et ayant 0 pour limite à l'infini, et A la série de terme général (f (n)). Pour que la série A converge, il faut et il suffit que l'intégrale impropre :

converge.

On prend la plupart du temps pour séries de références les séries géométriques, c'est-àdire les séries dont le terme général est de la forme (aⁿ), les séries de Riemann, de terme général (1/n^α), convergentes si et seulement si α > 1, les séries de Bertrand, de terme général :

convergentes également [...]

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